Determine o domínio, imagem e as respectivas curvas de nível das funções abaixo:
f(x, y)=6-3 x-2 y, curvas de nível para k=-6,0,6;

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x,y)=6-3x-2y
determinarmos (a) o domínio, (b) a imagem e (c) as curvas de nível para os valores k=-6,0,6. Como é uma função polinomial de grau 1 em duas variáveis, vamos usar propriedades de funções lineares.

Passo 2

Não há nenhuma restrição em x ou y (não aparecem raízes, logaritmos etc.), então o domínio é todo o plano.
Domínio: \mathbb R^2.

Passo 3

Como f é uma função linear não constante de \mathbb R^2 em \mathbb R, para qualquer valor real k conseguimos achar (x,y) tal que f(x,y)=k. Por exemplo, tomando x=0 e resolvendo 6-2y=k. Logo, a imagem é todo o conjunto dos reais.
Imagem: \mathbb R.

Passo 4

A curva de nível de ordem k é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
f(x,y)=k
ou seja
6-3x-2y = k \quad\Longleftrightarrow\quad 3x + 2y = 6 - k.

Passo 5

BastA usar a fórmula acima para cada k:
Para k=-6:
3x + 2y = 6 - (-6) = 12.
Para k=0:
3x + 2y = 6 - 0 = 6.
Para k=6:
3x + 2y = 6 - 6 = 0.

Resposta

Domínio: \mathbb R^2
Imagem: \mathbb R
Curvas de nível:
k=-6:\;3x+2y=12
k=0:\;3x+2y=6
k=6:\;3x+2y=0

Exercícios relacionados