Sejam f, g: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R} duas funções de duas variáveis reais com \lim _{(x, y) \rightarrow(a, b)} f(x, y)=L e \lim _{(x, y) \rightarrow(a, b)} g(x, y)=M. Prove que se M \neq 0, então \lim _{(x, y) \rightarrow(a, b) \frac{f(x, y)}{g(x, y)}}=\frac{L}{M}. Se a condição M \neq 0 não ocorre, o que podemos dizer de \lim _{(x, y) \rightarrow(a, b) \frac{f(x, y)}{g(x, y)}} ? Justifique.
O conteúdo é o cálculo de limite de quociente usando definição de limite (\epsilon–\delta). Para isso, precisaremos da definição de limite para f e para g, e da ideia de que, se g se aproxima de M\neq0, então g fica afastada de zero numa vizinhança de (a,b).
Passo 2
Aplicamos a definição de limite para f e g. Seja \varepsilon>0.
Pela convergência de f a L, existe \delta_1>0 tal que
Isso prova que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(a,b)}\frac{f}{g} = \frac{L}{M}.
Passo 5
Se a condição M\neq0 não ocorre, isto é, se M=0, então a informação \lim g(x,y)=0 impede garantir que g(x,y) fique longe de zero perto de (a,b). Nessa situação o quociente f/g pode divergir para \pm\infty ou não ter limite, dependendo de como f e g se comportam. Em geral, sem informações adicionais, não podemos concluir nada sobre \displaystyle\lim_{(x,y)\to(a,b)}\frac{f(x,y)}{g(x,y)}.
Resposta
\displaystyle\lim_{(x,y)\to(a,b)}\frac{f(x,y)}{g(x,y)}=\frac{L}{M} se M\neq0.
Se M=0, o limite \lim_{(x,y)\to(a,b)}\frac{f(x,y)}{g(x,y)} é indeterminado e pode não existir ou ser infinito.