Sejam f, g: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R} duas funções de duas variáveis reais com \lim _{(x, y) \rightarrow(a, b)} f(x, y)= L e \lim _{(x, y) \rightarrow(a, b)} g(x, y)=M. Prove que se M \neq 0, então \lim _{(x, y) \rightarrow(a, b) \frac{f(x, y)}{g(x, y)}}=\frac{L}{M}. Se a condição M \neq 0 não ocorre, o que podemos dizer de \lim _{(x, y) \rightarrow(a, b) \frac{f(x, y)}{g(x, y)}} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se
\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L \quad\text{e}\quad \lim_{(x,y)\to(a,b)}g(x,y)=M\neq0,
então
\lim_{(x,y)\to(a,b)}\frac{f(x,y)}{g(x,y)}=\frac{L}{M}.
O conteúdo é o cálculo de limite de quociente usando definição de limite ( \epsilon \delta). Para isso, precisaremos da definição de limite para f e para g, e da ideia de que, se g se aproxima de M\neq0, então g fica afastada de zero numa vizinhança de (a,b).

Passo 2

Aplicamos a definição de limite para f e g. Seja \varepsilon>0.
Pela convergência de f a L, existe \delta_1>0 tal que
0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta_1 \implies |f(x,y)-L|<\varepsilon_1,
onde escolheremos \varepsilon_1 depois.
Pela convergência de g a M, existe \delta_2>0 tal que
0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta_2 \implies |g(x,y)-M|<\frac{|M|}{2}.
Dessa última desigualdade segue
|g(x,y)| \ge |\,|M| - |g(x,y)-M|\,| > |M| - \frac{|M|}{2} = \frac{|M|}{2},
ou seja, g(x,y) não se aproxima de zero.

Passo 3

Agora estimamos a diferença
\left|\frac{f(x,y)}{g(x,y)} - \frac{L}{M}\right|.
Colocando sobre o mesmo denominador, obtemos
\left|\frac{f(x,y)}{g(x,y)} - \frac{L}{M}\right| = \left|\frac{M\,f(x,y) - L\,g(x,y)}{M\,g(x,y)}\right| \le \frac{1}{|M|\,|g(x,y)|} \bigl|M\bigl(f(x,y)-L\bigr) + L\bigl(L-g(x,y)\bigr)\bigr|.
Usando |g(x,y)|>\tfrac{|M|}{2},
\le \frac{2}{|M|^2} \Bigl(|M|\,|f(x,y)-L| + |L|\,|g(x,y)-M|\Bigr).

Passo 4

Agora escolhemos \varepsilon_1 e controlamos cada termo. Queremos que
\frac{2}{|M|^2}\Bigl(|M|\,|f(x,y)-L| + |L|\,|g(x,y)-M|\Bigr) < \varepsilon.
Basta exigir
|f(x,y)-L| < \frac{|M|\,\varepsilon}{4} \quad\text{e}\quad |g(x,y)-M| < \frac{|M|^2\,\varepsilon}{4|L|},
pois então
\frac{2}{|M|^2}\bigl(|M|\tfrac{|M|\varepsilon}{4} + |L|\tfrac{|M|^2\varepsilon}{4|L|}\bigr) = \frac{2}{|M|^2}\cdot\frac{|M|^2\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Definimos
\varepsilon_1 = \frac{|M|\,\varepsilon}{4}, \quad \varepsilon_2 = \min\Bigl(\frac{|M|}{2},\,\frac{|M|^2\,\varepsilon}{4|L|}\Bigr),
e tomamos \delta = \min(\delta_1,\delta_2). Assim, sempre que
\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta, garantimos ambas as desigualdades acima, e portanto
\left|\frac{f(x,y)}{g(x,y)} - \frac{L}{M}\right|<\varepsilon.
Isso prova que
\displaystyle\lim_{(x,y)\to(a,b)}\frac{f}{g} = \frac{L}{M}.

Passo 5

Se a condição M\neq0 não ocorre, isto é, se M=0, então a informação
\lim g(x,y)=0 impede garantir que g(x,y) fique longe de zero perto de (a,b). Nessa situação o quociente f/g pode divergir para \pm\infty ou não ter limite, dependendo de como f e g se comportam. Em geral, sem informações adicionais, não podemos concluir nada sobre
\displaystyle\lim_{(x,y)\to(a,b)}\frac{f(x,y)}{g(x,y)}.

Resposta

\displaystyle\lim_{(x,y)\to(a,b)}\frac{f(x,y)}{g(x,y)}=\frac{L}{M} se M\neq0.
Se M=0, o limite \lim_{(x,y)\to(a,b)}\frac{f(x,y)}{g(x,y)} é indeterminado e pode não existir ou ser infinito.

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