Determine o domínio, imagem e as respectivas curvas de nível das funções abaixo:
, curvas de nível para
;
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o domínio, a imagem e as curvas de nível da função
Vamos usar que polinômios em
são definidos em todo
, que
é sempre não-negativo e que a equação de nível
descreve elipses (ou casos degenerados).
Passo 2
Para o domínio, como não há divisão por zero nem raiz de índice par de expressão negativa, a função está definida para todo par
. Logo
Passo 3
Para a imagem, note que
e
, então
e, variando
, podemos atingir todos os valores não-negativos. Logo
Passo 4
As curvas de nível são dadas por
Para
não há solução real. Para
isso força
e
. Para
é uma elipse centrada na origem, com semi-eixos
Passo 5
Agora aplicamos para
:
– : ponto
.
– : elipse
–
–
–
: elipse
–
: elipse
Resposta
Domínio:
Imagem:
Curvas de nível:
Imagem:
Curvas de nível: