Determine o domínio, imagem e as respectivas curvas de nível das funções abaixo:
f(x, y)=4 x^{2}+y^{2}, curvas de nível para k=0,1,2,4;

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o domínio, a imagem e as curvas de nível da função
f(x,y) = 4x^2 + y^2
Vamos usar que polinômios em x,y são definidos em todo \mathbb{R}^2, que 4x^2+y^2 é sempre não-negativo e que a equação de nível 4x^2+y^2=k descreve elipses (ou casos degenerados).

Passo 2

Para o domínio, como não há divisão por zero nem raiz de índice par de expressão negativa, a função está definida para todo par (x,y). Logo
\text{Domínio} = \mathbb{R}^2.í

Passo 3

Para a imagem, note que 4x^2\ge0 e y^2\ge0, então
f(x,y)=4x^2+y^2\ge0
e, variando x,y, podemos atingir todos os valores não-negativos. Logo
\text{Imagem} = [0,\infty).

Passo 4

As curvas de nível são dadas por
4x^2 + y^2 = k.
Para k<0 não há solução real. Para k=0 isso força x=0 e y=0. Para k>0 é uma elipse centrada na origem, com semi-eixos
a = \frac{\sqrt{k}}{2}\quad\text{(na direção \(x\))},\qquad b = \sqrt{k}\quad\text{(na direção \(y\))}.çãçã

Passo 5

Agora aplicamos para k=0,1,2,4:
k=0: ponto \{(0,0)\}.
k=1: elipse
4x^2 + y^2 = 1,\quad \text{semi-eixos }a=\tfrac12,\;b=1.
k=2: elipse
4x^2 + y^2 = 2,\quad \text{semi-eixos }a=\tfrac{\sqrt2}{2},\;b=\sqrt2.
k=4: elipse
4x^2 + y^2 = 4,\quad \text{semi-eixos }a=1,\;b=2.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^2
Imagem: [0,\infty)
Curvas de nível:
k=0:\\ \{(0,0)\},\quad k=1:\\\ 4x^2+y^2=1,\quad k=2:\\\ 4x^2+y^2=2,\quad k=4:\\\ 4x^2+y^2=4.

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