Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
f(x)=1raizx-1+1x-5

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função
f(x)=1raizx-1+1x-5
Para resolver, vamos primeiro impor as condições de existência da raiz e dos denominadores, depois estudar a monotonicidade de f e usar limites nos extremos dos intervalos do domínio para obter a imagem.

Passo 2

Para existir raizx-1 e não termos divisão por zero, precisamos de
x-1>0, raizx-1neq0, x-5neq0
Isto é,
x>1, xneq1, xneq5
Como x>1 já elimina x=1, sobra
Domínio=,(1,5)cup(5,infty) í

Passo 3

Calculamos a derivada para ver monotonicidade:
f'(x)=-12(x-1)^3/2-1(x-5)^2
Como (x-1)^3/2>0 e (x-5)^2>0 em todo o domínio, obtemos f'(x)<0. Logo f é estritamente decrescente em cada um dos intervalos (1,5) e (5,infty).

Passo 4

Agora usamos limites nos extremos:
  1. Em (1,5):
    • Para xto1^+, tfrac1raizx-1to+infty e tfrac1x-5 é finito implies f(x)to+infty.
    • Para xto5^-, tfrac1raizx-1totfrac12 e tfrac1x-5to-infty implies f(x)to-infty.
      Como f decresce de +infty a -infty, cobre todos os reais.
  2. Em (5,infty):
    • Para xto5^+, tfrac1x-5to+infty implies f(x)to+infty.
    • Para xtoinfty, tfrac1raizx-1to0 e tfrac1x-5to0 implies f(x)to0^+.
      Como decresce de +infty a 0^+, sua imagem neste intervalo é (0,infty).
União das imagens: Rcup(0,infty)=R.

Resposta

Domínio: (1,5)cup(5,infty)
Imagem: R

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