Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede o domínio e a imagem da função
Para resolver, vamos primeiro impor as condições de existência da raiz e dos denominadores, depois estudar a monotonicidade de
e usar limites nos extremos dos intervalos do domínio para obter a imagem.
Passo 2
Para existir
e não termos divisão por zero, precisamos de
Isto é,
Como
já elimina
, sobra
Passo 3
Calculamos a derivada para ver monotonicidade:
Como
e
em todo o domínio, obtemos
. Logo
é estritamente decrescente em cada um dos intervalos
e
.
Passo 4
Agora usamos limites nos extremos:
-
Em
: - Para
, e é finito . - Para
, e .
Comodecresce de a , cobre todos os reais.
- Para
-
Em
: - Para
, . - Para
, e .
Como decresce dea , sua imagem neste intervalo é .
- Para
União das imagens:
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: