Determine o domínio e a imagem das seguintes funções e desenhe esboços de seus gráficos:
g(x)=4-x^2

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos o domínio e a imagem da função
g(x)=4 - x^2
e fazer um esboço do seu gráfico.
Conteúdo: estudo de funções polinomiais (quadrática), domínio natural de polinômios e obtenção da imagem via vértice e concavidade.

Passo 2

Como g é um polinômio (ou seja, não possui divisão por zero nem raízes em denominador), seu domínio é todo o conjunto dos números reais:
Dom(g)=R

Passo 3

Para achar a imagem, observe que g(x) é uma parábola com termo principal -x^2, logo abre para baixo. O vértice de
g(x)= -x^2 + 4
ocorre em x=0. Substituindo,
g(0)=4-0^2=4
Como a concavidade é para baixo, g(x)<=4 para todo x, e quando lvert xrverttoinfty, g(x)to-infty. Portanto
Im(g)=(-infty,,4]

Passo 4

Pontos notáveis para o esboço:
– Vértice em (0,4).
– Zeros em 4 - x^2=0implies x=pm 2, ou seja, pontos (-2,0) e (2,0).
– Simetria em torno do eixo y.
Esboço aproximado (eixo x horizontal, eixo y vertical):
rcl & y & & uparrow & 5 & ast & 4 & ast ast vértice em (0,4) & 3 & & 2 & ast ast & 1 & & 0 & longrightarrow & x & -3 -2 -1 0 1 2 3 & é

Resposta

Domínio: R
Imagem: (-infty,,4]
Gráfico: parábola com vértice em (0,4), zeros em (pm2,0) e concavidade para baixo.

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