Determine o domínio e a imagem das seguintes funções e desenhe esboços de seus gráficos:
Passo 1
O enunciado pede para determinarmos o domínio e a imagem da função
e fazer um esboço do seu gráfico.
Conteúdo: estudo de funções polinomiais (quadrática), domínio natural de polinômios e obtenção da imagem via vértice e concavidade.
Conteúdo: estudo de funções polinomiais (quadrática), domínio natural de polinômios e obtenção da imagem via vértice e concavidade.
Passo 2
Como
é um polinômio (ou seja, não possui divisão por zero nem raízes em denominador), seu domínio é todo o conjunto dos números reais:
Passo 3
Para achar a imagem, observe que
é uma parábola com termo principal
, logo abre para baixo. O vértice de
ocorre em
. Substituindo,
Como a concavidade é para baixo,
para todo
, e quando
,
. Portanto
Passo 4
Pontos notáveis para o esboço:
– Vértice em .
– Zeros em , ou seja, pontos
e
.
– Simetria em torno do eixo .
– Vértice em
– Zeros em
– Simetria em torno do eixo
Esboço aproximado (eixo
horizontal, eixo
vertical):
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: parábola com vértice em , zeros em
e concavidade para baixo.
Imagem:
Gráfico: parábola com vértice em