Determine o domínio e a imagem das seguintes funções e depois indique qual o ínfimo e o supremo deles, se houver:
f(x)=1x-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio e a imagem da função f(x) = 1x - 4 . Também vamos identificar o ínfimo e o supremo, se houver. Para isso, precisamos entender os conceitos de domínio (todos os valores de x que a função pode assumir) e imagem (todos os valores que f(x) pode resultar). Além disso, vamos ver o que são ínfimo e supremo, que são limites inferior e superior dos valores da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função f(x) = 1x - 4 . O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero (porque divisão por zero não existe).
Então, vamos igualar o denominador a zero e resolver:
x - 4 = 0 implies x = 4
Isso significa que x = 4 faz o denominador ser zero, o que não é permitido. Portanto, o domínio da função é todos os números reais exceto x = 4 .
Domínio: R setminus 4 ou (-infty, 4) cup (4, +infty)

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função f(x) = 1x - 4 . A imagem consiste em todos os possíveis valores que f(x) pode assumir quando x varia no domínio.
Vamos analisar o comportamento da função:
  • Quando x se aproxima de 4 pela esquerda ( x to 4^- ), x - 4 fica negativo e próximo de zero, então 1x - 4 tende a -infty .
  • Quando x se afasta de 4 para valores maiores ( x to +infty ), x - 4 fica positivo e grande, então 1x - 4 tende a 0 por valores positivos.
  • Similarmente, quando x se afasta de 4 para valores menores ( x to -infty ), x - 4 fica negativo e grande em módulo, então 1x - 4 tende a 0 por valores negativos.
Isso indica que f(x) pode assumir todos os valores reais exceto 0.
Imagem: R setminus 0 ou (-infty, 0) cup (0, +infty)

Passo 4

Agora, vamos identificar o ínfimo e o supremo da imagem da função.
  • Ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto.
  • Supremo é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto.
Analisando a imagem (-infty, 0) cup (0, +infty) :
  • Não existe um menor valor definido na imagem, pois f(x) pode se aproximar de -infty . Assim, não há ínfimo.
  • Similarmente, não existe um maior valor definido na imagem, já que f(x) pode se aproximar de +infty . Portanto, não há supremo.

Resposta

Domínio: (-infty, 4) cup (4, +infty)
Imagem: (-infty, 0) cup (0, +infty)
Ínfimo: Não existe
Supremo: Não existe

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