Determine o domínio e a imagem das seguintes funções e depois indique qual o ínfimo e o supremo deles, se houver:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio e a imagem da função
. Também vamos identificar o ínfimo e o supremo, se houver. Para isso, precisamos entender os conceitos de domínio (todos os valores de
que a função pode assumir) e imagem (todos os valores que
pode resultar). Além disso, vamos ver o que são ínfimo e supremo, que são limites inferior e superior dos valores da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero (porque divisão por zero não existe).
Então, vamos igualar o denominador a zero e resolver:
Isso significa que
faz o denominador ser zero, o que não é permitido. Portanto, o domínio da função é todos os números reais exceto
.
Domínio:
ou
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função
. A imagem consiste em todos os possíveis valores que
pode assumir quando
varia no domínio.
Vamos analisar o comportamento da função:
- Quando
se aproxima de 4 pela esquerda ( ), fica negativo e próximo de zero, então tende a . - Quando
se afasta de 4 para valores maiores ( ), fica positivo e grande, então tende a 0 por valores positivos. - Similarmente, quando
se afasta de 4 para valores menores ( ), fica negativo e grande em módulo, então tende a 0 por valores negativos.
Isso indica que
pode assumir todos os valores reais exceto 0.
Imagem:
ou
Passo 4
Agora, vamos identificar o ínfimo e o supremo da imagem da função.
- Ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto.
- Supremo é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto.
Analisando a imagem
:
- Não existe um menor valor definido na imagem, pois
pode se aproximar de . Assim, não há ínfimo. - Similarmente, não existe um maior valor definido na imagem, já que
pode se aproximar de . Portanto, não há supremo.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Ínfimo: Não existe
Supremo: Não existe