Verifique que
f(x)=sinh x, g(x)=tanh x, h(x)=coth x e F(x)=1sinh x são ímpares

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se as funções f(x) = sinh x , g(x) = tanh x , h(x) = coth x e F(x) = 1sinh x são ímpares. Então, estamos trabalhando com funções hiperbólicas e precisamos saber o que significa uma função ser ímpar. Basicamente, uma função phi(x) é ímpar se phi(-x) = -phi(x) . Vamos usar essa definição para cada uma das funções mencionadas.

Passo 2

Vamos começar verificando se f(x) = sinh x é ímpar. Para isso, substituímos x por -x :
f(-x) = sinh(-x)
Sabemos que sinh(-x) = -sinh x porque a função seno hiperbólico é ímpar por definição. Então:
f(-x) = -sinh x = -f(x)
Isso confirma que f(x) = sinh x é uma função ímpar.

Passo 3

Agora, vamos verificar g(x) = tanh x . Substituindo x por -x :
g(-x) = tanh(-x)
A tangente hiperbólica também é uma função ímpar, então:
tanh(-x) = -tanh x
Portanto:
g(-x) = -tanh x = -g(x)
Assim, g(x) = tanh x também é uma função ímpar.

Passo 4

Vamos para h(x) = coth x . Substituindo x por -x :
h(-x) = coth(-x)
A cotangente hiperbólica é uma função ímpar, então:
coth(-x) = -coth x
Logo:
h(-x) = -coth x = -h(x)
Dessa forma, h(x) = coth x é uma função ímpar.

Passo 5

Por fim, vamos verificar F(x) = 1sinh x . Substituindo x por -x :
F(-x) = 1sinh(-x)
Sabemos que sinh(-x) = -sinh x , então:
F(-x) = 1-sinh x = -1sinh x = -F(x)
Isso mostra que F(x) = 1sinh x também é uma função ímpar.

Resposta

Todas as funções f(x) = sinh x , g(x) = tanh x , h(x) = coth x e F(x) = 1sinh x são ímpares, pois satisfazem phi(-x) = -phi(x) para cada uma delas.

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