Determine o domínio e a imagem das seguintes funções e depois indique qual o ínfimo e o supremo deles, se houver:
Passo 1
O enunciado pede o domínio e a imagem da função
além de identificar seu ínfimo e supremo. Vamos usar a condição de existência da raiz (radicando não negativo) para obter o domínio e, em seguida, analisar o comportamento de
nesse domínio para achar a imagem.
Passo 2
Precisamos resolver a desigualdade
Fatorando o polinômio, temos
logo queremos
Passo 3
O produto
é não negativo quando ambos fatores são não negativos ou ambos são não positivos, isto é,
Portanto, o domínio de
é
Passo 4
Para obter a imagem, observamos que
entrega sempre valores
. Nos pontos de fronteira do domínio,
e
, o radicando vale zero, então
À medida que
ou
, o radicando cresce sem limite e, portanto,
. Logo a imagem de
é
Passo 5
Como
atinge o valor mínimo
no domínio, o ínfimo de
é
enquanto que não há maior valor finito (vai a
), de modo que o supremo é
Resposta
Domínio:
Imagem:
,
Imagem: