Determine o domínio e a imagem das seguintes funções e depois indique qual o ínfimo e o supremo deles, se houver:
f(x)=raizx^2-4 x+3

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função
f(x)=raizx^2-4x+3
além de identificar seu ínfimo e supremo. Vamos usar a condição de existência da raiz (radicando não negativo) para obter o domínio e, em seguida, analisar o comportamento de f nesse domínio para achar a imagem.

Passo 2

Precisamos resolver a desigualdade
x^2-4x+3>=0
Fatorando o polinômio, temos
x^2-4x+3=(x-1)(x-3),
logo queremos
(x-1)(x-3)>=0

Passo 3

O produto (x-1)(x-3) é não negativo quando ambos fatores são não negativos ou ambos são não positivos, isto é,
x<=1ou x>=3
Portanto, o domínio de f é
D =(-infty,1]cup[3,infty)

Passo 4

Para obter a imagem, observamos que raizcdot entrega sempre valores >=0. Nos pontos de fronteira do domínio, x=1 e x=3, o radicando vale zero, então
f(1)=0, f(3)=0
À medida que xto-infty ou xto+infty, o radicando cresce sem limite e, portanto, f(x)to+infty. Logo a imagem de f é
Im,f=[0,infty)

Passo 5

Como f atinge o valor mínimo 0 no domínio, o ínfimo de Im,f é
infIm,f=0,
enquanto que não há maior valor finito (vai a +infty), de modo que o supremo é
supIm,f=+infty

Resposta

Domínio: (-infty,1]cup[3,infty)
Imagem: [0,infty)
inf=0, sup=+infty

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