Determine o domínio e a imagem das seguintes funções e depois indique qual o ínfimo e o supremo deles, se houver:
f(x)=2|sin x|

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio e a imagem da função
f(x)=2lvert sin xrvert,
e em seguida identificar o ínfimo e o supremo dessa imagem. Para isso vamos usar que sin x varia entre -1 e 1 e que o valor absoluto leva lvert sin xrvert para [0,1], multiplicando tudo por 2.

Passo 2

Domínio de f: como sin x está definido para todo xinR, temos
Dom(f)=R

Passo 3

Imagem de f: primeiro lembramos que
-1<= sin x<= 1 Longrightarrow 0<= lvert sin xrvert<= 1
Multiplicando por 2, vem
0<= 2lvert sin xrvert<= 2
e, como x pode assumir valores em que lvert sin xrvert atinge 0 e 1, concluímos
Im(f)=[0,2]

Passo 4

Ínfimo e supremo de Im(f):
– O menor valor em [0,2] é 0, logo
inf Im(f)=0.
– O maior valor em [0,2] é 2, logo
sup Im(f)=2.

Resposta

Domínio: R
Imagem: [0,2]
Ínfimo: 0
Supremo: 2

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