Determine o domínio e a imagem das seguintes funções e depois indique qual o ínfimo e o supremo deles, se houver:
Passo 1
O enunciado pede o domínio e a imagem da função
além de identificar ínfimo e supremo do domínio e da imagem. Vamos primeiro tratar das restrições em
para encontrar o domínio e depois estudar o comportamento de
em cada ramo para achar a imagem.
Passo 2
Para a expressão
precisamos de
, ou seja
. Além disso, o denominador
não pode ser zero, isto é,
. Portanto o domínio é
O ínfimo de
é
(não pertencente a
) e o supremo é
.
Passo 3
Agora vamos estudar a imagem em cada intervalo de
.
No intervalo
:
- Quando
, faz e , logo . - Quando
, e , logo .
Como
é contínua em
, seu valor percorre todo
nesse ramo.
Passo 4
No intervalo
:
- Quando
, e , logo . - Quando
, e , logo .
Como
é contínua em
, o valor de
percorre
nesse ramo.
Passo 5
Juntando as imagens de ambos os ramos, temos
e portanto a imagem total é
O ínfimo da imagem é
e o supremo é
.
Resposta
Domínio:
, com
e
.
Imagem: , com
e
.
Imagem: