Determine o domínio e a imagem das seguintes funções e depois indique qual o ínfimo e o supremo deles, se houver:
f(x)=1raizx-1+1x-5

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função
f(x)=1raizx-1+1x-5,
além de identificar ínfimo e supremo do domínio e da imagem. Vamos primeiro tratar das restrições em x para encontrar o domínio e depois estudar o comportamento de f em cada ramo para achar a imagem.

Passo 2

Para a expressão 1raizx-1 precisamos de x-1>0, ou seja x>1. Além disso, o denominador x-5 não pode ser zero, isto é, xneq5. Portanto o domínio é
D=xmid x>1,;xneq5=(1,5)cup(5,infty)
O ínfimo de D é inf D=1 (não pertencente a D) e o supremo é sup D=+infty.

Passo 3

Agora vamos estudar a imagem em cada intervalo de D.
No intervalo (1,5):
  • Quando xto1^+, raizx-1to0^+ faz tfrac1raizx-1to+infty e tfrac1x-5totfrac11-5=-tfrac14, logo f(x)to+infty.
  • Quando xto5^-, tfrac1raizx-1totfrac12 e tfrac1x-5to-infty, logo f(x)to-infty.
Como f é contínua em (1,5), seu valor percorre todo R nesse ramo.

Passo 4

No intervalo (5,infty):
  • Quando xto5^+, tfrac1raizx-1totfrac12 e tfrac1x-5to+infty, logo f(x)to+infty.
  • Quando xto+infty, tfrac1raizx-1to0^+ e tfrac1x-5to0^+, logo f(x)to0^+.
Como f é contínua em (5,infty), o valor de f(x) percorre (0,+infty) nesse ramo.

Passo 5

Juntando as imagens de ambos os ramos, temos
fl((1,5)r)=R, fl((5,infty)r)=(0,infty),
e portanto a imagem total é
Im,f=Rcup(0,infty)=R
O ínfimo da imagem é infIm,f=-infty e o supremo é supIm,f=+infty.

Resposta

Domínio: (1,5)cup(5,infty), com inf D=1 e sup D=+infty.
Imagem: R, com infIm,f=-infty e supIm,f=+infty.

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