Determine
, se
e
Passo 1
A questão pede para encontrar a função obtida pela n-ésima composição de
f₀(x)=1/(2−x) consigo mesma. Esse tipo de problema entra na categoria de iteração de transformações de Möbius, e vamos usar a representação matricial dessas transformações para facilitar o cálculo.
f₀(x)=1/(2−x) consigo mesma. Esse tipo de problema entra na categoria de iteração de transformações de Möbius, e vamos usar a representação matricial dessas transformações para facilitar o cálculo.
Passo 2
Podemos escrever f₀(x)=1/(2−x) como uma transformação de Möbius da forma
onde identificamos
ou seja, a matriz associada é
Passo 3
Quando iteramos f₀, a composição corresponde a multiplicar essas matrizes. Em particular
Passo 4
Note que M pode ser escrita como M=I+N, onde
Basta verificar que N²=0 (é nilpotente de ordem 2).
Passo 5
Pela fórmula do binômio para matrizes nilpotentes temos
Então
Passo 6
Aplicando essa matriz à variável x, temos
e multiplicando numerador e denominador por −1, obtemos a forma mais usual:
$$
f_{n}(x)=\frac{n,x-(n+1)}{(n+1),x-(n+2)}$$