Determine fn(x), se f0(x)=12-x e fn+1(x)=f0 circ fn, n=0,1,2,3, ldots

Passo 1

A questão pede para encontrar a função obtida pela n-ésima composição de
f₀(x)=1/(2−x) consigo mesma. Esse tipo de problema entra na categoria de iteração de transformações de Möbius, e vamos usar a representação matricial dessas transformações para facilitar o cálculo.

Passo 2

Podemos escrever f₀(x)=1/(2−x) como uma transformação de Möbius da forma
M(x)=A x + BC x + D
onde identificamos
A=0, B=1, C=-1, D=2
ou seja, a matriz associada é
M=0 & 1 -1 & 2

Passo 3

Quando iteramos f₀, a composição corresponde a multiplicar essas matrizes. Em particular
fn(x)=underbracef₀circ f₀circcdotscirc f₀n+1 vezes(x) = M^n+1(x)

Passo 4

Note que M pode ser escrita como M=I+N, onde
I=1 & 00 & 1, N=-1 & 1-1 & 1
Basta verificar que N²=0 (é nilpotente de ordem 2).

Passo 5

Pela fórmula do binômio para matrizes nilpotentes temos
M^n+1=(I+N)^n+1=I+(n+1)N
Então
M^n+1 = 1 & 00 & 1+(n+1) -1 & 1-1 & 1 = -n & n+1-(n+1) & n+2

Passo 6

Aplicando essa matriz à variável x, temos
fn(x)=-n,x+(n+1)-(n+1),x+(n+2)
e multiplicando numerador e denominador por −1, obtemos a forma mais usual:
$$
f_{n}(x)=\frac{n,x-(n+1)}{(n+1),x-(n+2)}$$

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