Monte a integral abaixo utilizando novas variáveis.
(Não precisa calcular a integral!!!)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral tripla que precisa ser reescrita usando novas variáveis. O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especialmente mudança de coordenadas para facilitar a resolução de integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar as variáveis
para um sistema de coordenadas mais adequado, como as coordenadas cilíndricas ou esféricas, e ajustar os limites de integração de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os limites de integração da integral original:
Vemos que os limites em
dependem de
, e o limite inferior em
é
, que sugere a utilização das coordenadas cilíndricas já que
é uma expressão comum nesse sistema.
Passo 3
Nas coordenadas cilíndricas, a transformação das coordenadas é dada por:
Além disso, o diferencial de volume
em coordenadas cilíndricas é:
Passo 4
Agora, vamos reescrever os limites de integração no novo sistema de coordenadas. Observando os limites de
e
:
-
vai de a , e de a . Isso descreve um círculo de raio 2 no plano , então vai de a , e vai de a .
Para
, o limite inferior é
, que em coordenadas cilíndricas é
, e o limite superior é
. Portanto,
vai de
a
.
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral original usando as coordenadas cilíndricas:
Aqui,
e o fator extra
vem do diferencial de volume
.
Resposta
A integral reescrita em coordenadas cilíndricas fica: