Monte a integral abaixo utilizando novas variáveis.
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralx^2+y^2^4 y z d z d y d x
(Não precisa calcular a integral!!!)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral tripla que precisa ser reescrita usando novas variáveis. O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especialmente mudança de coordenadas para facilitar a resolução de integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar as variáveis x, y, z para um sistema de coordenadas mais adequado, como as coordenadas cilíndricas ou esféricas, e ajustar os limites de integração de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os limites de integração da integral original:
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralx^2+y^2^4 y z , dz , dy , dx
Vemos que os limites em y dependem de x, e o limite inferior em z é x^2 + y^2, que sugere a utilização das coordenadas cilíndricas já que x^2 + y^2 é uma expressão comum nesse sistema.

Passo 3

Nas coordenadas cilíndricas, a transformação das coordenadas é dada por:
x = r cos theta
y = r sin theta
z = z
Além disso, o diferencial de volume dV em coordenadas cilíndricas é:
dV = r , dz , dr , dtheta

Passo 4

Agora, vamos reescrever os limites de integração no novo sistema de coordenadas. Observando os limites de x e y:
  • x vai de -2 a 2, e y de -raiz4 - x^2 a raiz4 - x^2. Isso descreve um círculo de raio 2 no plano xy, então r vai de 0 a 2, e theta vai de 0 a 2pi.
Para z, o limite inferior é x^2 + y^2, que em coordenadas cilíndricas é r^2, e o limite superior é 4. Portanto, z vai de r^2 a 4.

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original usando as coordenadas cilíndricas:
integral0^2pi integral0^2 integralr^2^4 (r sin theta) cdot z cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, y = r sin theta e o fator extra r vem do diferencial de volume dV = r , dz , dr , dtheta.

Resposta

A integral reescrita em coordenadas cilíndricas fica:
integral0^2pi integral0^2 integralr^2^4 (r sin theta) cdot z cdot r , dz , dr , dtheta

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