Determine:
  • domínio de f e as interseções com os eixos coordenados, caso existam.
  • as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
  • os intervalos onde f é crescente, os intervalos onde f é decrescente e os máximos e mínimos locais de f.
  • os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para baixo, os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima e os pontos de inflexão, caso existam.
  • esboce o gráfico de f e dê sua imagem
  1. f(x)=e^1x

Passo 1

O enunciado pede que, para a função
f(x)=e^1x,
encontremos (1) domínio e interseções com os eixos, (2) assíntotas verticais e horizontais, (3) monotonia e extremos locais, (4) concavidade e pontos de inflexão, (5) esboço do gráfico e imagem. Vamos usar limites para assíntotas e derivadas primeira e segunda para monotonia e concavidade.

Passo 2

Domínio: 1x exige xneq0, logo
Dom(f)=(-infty,0)cup(0,infty)
Interseções com os eixos:
– Com o eixo y: x=0 não pertence ao domínio, não há.
– Com o eixo x: resolver e^1x=0 não tem solução real, não há.

Passo 3

Assíntota vertical em x=0:
limxto0^+f(x)=limxto0^+e^1/x=+infty, limxto0^-f(x)=limxto0^-e^1/x=0
Assíntotas horizontais em y=1:
limxto+inftyf(x)=e^0=1, limxto-inftyf(x)=e^0=1

Passo 4

Derivada primeira:
f'(x)=e^1/xcdotl(!-tfrac1x^2r)=-1x^2,e^1/x
Como -1/x^2<0 e e^1/x>0 para todo xneq0, temos f'(x)<0 em cada um dos intervalos (-infty,0) e (0,infty). Portanto f é estritamente decrescente em ambos e não possui máximos nem mínimos locais no interior do domínio.

Passo 5

Derivada segunda:
f''(x) =ddxl(-x^-2e^1/xr) =e^1/x,2x+1x^4
O sinal de f''(x) é o de (2x+1), pois e^1/x>0 e x^4>0.
– Se 2x+1<0iff x<-tfrac12, então f''(x)<0: côncavo para baixo em (-infty,-tfrac12).
– Se 2x+1>0iff x>-tfrac12, então f''(x)>0: côncavo para cima em (-tfrac12,0) e em (0,infty).
Ponto de inflexão em x=-tfrac12, com f(-tfrac12)=e^-2.

Passo 6

Esboço e imagem:
– Em (0,infty): fto+infty quando xto0^+ e decresce até aproximar-se de 1 quando xto+infty.
– Em (-infty,0): fto1 quando xto-infty (por baixo de 1) e decresce até 0 quando xto0^-.
– A função nunca atinge y=1 nem y=0, portanto a imagem é (0,1)cup(1,infty).

Resposta

Domínio: (-infty,0)cup(0,infty)
Interseções: nenhuma com eixos coordenados
Assíntotas: vertical x=0; horizontal y=1
Monotonia: estritamente decrescente em (-infty,0) e em (0,infty); sem extremos locais
Concavidade: côncavo para baixo em (-infty,-tfrac12), côncavo para cima em (-tfrac12,0)cup(0,infty); inflexão em l(-tfrac12,e^-2r)
Imagem: (0,1)cup(1,infty)
Esboço: dois ramos decrescentes, um indo de +infty em xto0^+ até 1 em xto+infty, outro de 1 em xto-infty até 0 em xto0^-.

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