Determine:
- domínio de
e as interseções com os eixos coordenados, caso existam.
- as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
- os intervalos onde
é crescente, os intervalos onde
é decrescente e os máximos e mínimos locais de
.
- os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para baixo, os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para cima e os pontos de inflexão, caso existam.
- esboce o gráfico de
e dê sua imagem
-
Passo 1
O enunciado pede que, para a função
encontremos (1) domínio e interseções com os eixos, (2) assíntotas verticais e horizontais, (3) monotonia e extremos locais, (4) concavidade e pontos de inflexão, (5) esboço do gráfico e imagem. Vamos usar limites para assíntotas e derivadas primeira e segunda para monotonia e concavidade.
Passo 2
Domínio:
exige
, logo
Interseções com os eixos:
– Com o eixo :
não pertence ao domínio, não há.
– Com o eixo : resolver
não tem solução real, não há.
– Com o eixo
– Com o eixo
Passo 3
Assíntota vertical em
:
Assíntotas horizontais em
:
Passo 4
Derivada primeira:
Como
e
para todo
, temos
em cada um dos intervalos
e
. Portanto
é estritamente decrescente em ambos e não possui máximos nem mínimos locais no interior do domínio.
Passo 5
Derivada segunda:
O sinal de
é o de
, pois
e
.
– Se , então
: côncavo para baixo em
.
– Se , então
: côncavo para cima em
e em
.
Ponto de inflexão em , com
.
– Se
– Se
Ponto de inflexão em
Passo 6
Esboço e imagem:
– Em :
quando
e decresce até aproximar-se de
quando
.
– Em :
quando
(por baixo de 1) e decresce até
quando
.
– A função nunca atinge nem
, portanto a imagem é
.
– Em
– Em
– A função nunca atinge
Resposta
Domínio:
Interseções: nenhuma com eixos coordenados
Assíntotas: vertical ; horizontal
Monotonia: estritamente decrescente em e em
; sem extremos locais
Concavidade: côncavo para baixo em , côncavo para cima em
; inflexão em
Imagem:
Esboço: dois ramos decrescentes, um indo de em
até
em
, outro de
em
até
em
.
Interseções: nenhuma com eixos coordenados
Assíntotas: vertical
Monotonia: estritamente decrescente em
Concavidade: côncavo para baixo em
Imagem:
Esboço: dois ramos decrescentes, um indo de