Resolva as equações diferenciais utilizando o método das séries de potências:
, em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método das séries de potências, centrando em
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais e Análise de Séries. Para resolver, vamos representar a solução
como uma série de potências em torno de
e encontrar os coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
como uma série de potências em torno de
. Isso significa que podemos escrever:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Vamos simplificar o termo envolvendo
. Note que
, então:
Passo 6
Agora, reescrevemos toda a equação com os termos organizados:
Passo 7
Para combinar os termos, ajustamos os índices das somas para que todas tenham o mesmo expoente de
. Isso nos dará uma equação que podemos resolver para os coeficientes
.
Passo 8
Após ajustar os índices e combinar os termos, obtemos uma relação de recorrência que nos permite encontrar cada
em termos de
.
Passo 9
Resolvendo a relação de recorrência, encontramos os coeficientes
. Geralmente, isso envolve especificar
(a condição inicial) e calcular os demais coeficientes passo a passo.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
centrada em
é dada por uma série de potências da forma:
onde os coeficientes
são determinados pela relação de recorrência obtida durante a resolução.