Resolva as equações diferenciais utilizando o método das séries de potências:
y^prime-x y+2 y=0, em torno de x=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial y' - x y + 2 y = 0 usando o método das séries de potências, centrando em x = 1 . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais e Análise de Séries. Para resolver, vamos representar a solução y como uma série de potências em torno de x = 1 e encontrar os coeficientes dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar y como uma série de potências em torno de x = 1 . Isso significa que podemos escrever:
y(x) = sumn=0^infty an (x - 1)^n
Aqui, an são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos derivar y(x) em relação a x para encontrar y'(x) :
y'(x) = sumn=1^infty n an (x - 1)^n-1

Passo 4

Substituímos y(x) e y'(x) na equação diferencial original:
sumn=1^infty n an (x - 1)^n-1 - x sumn=0^infty an (x - 1)^n + 2 sumn=0^infty an (x - 1)^n = 0

Passo 5

Vamos simplificar o termo envolvendo x . Note que x = (x - 1) + 1 , então:
x sumn=0^infty an (x - 1)^n = sumn=0^infty an (x - 1)^n+1 + sumn=0^infty an (x - 1)^n

Passo 6

Agora, reescrevemos toda a equação com os termos organizados:
sumn=1^infty n an (x - 1)^n-1 - sumn=0^infty an (x - 1)^n+1 - sumn=0^infty an (x - 1)^n + 2 sumn=0^infty an (x - 1)^n = 0

Passo 7

Para combinar os termos, ajustamos os índices das somas para que todas tenham o mesmo expoente de (x - 1)^n . Isso nos dará uma equação que podemos resolver para os coeficientes an .

Passo 8

Após ajustar os índices e combinar os termos, obtemos uma relação de recorrência que nos permite encontrar cada an em termos de an-1 .

Passo 9

Resolvendo a relação de recorrência, encontramos os coeficientes an . Geralmente, isso envolve especificar a0 (a condição inicial) e calcular os demais coeficientes passo a passo.

Resposta

A solução geral da equação diferencial y' - x y + 2 y = 0 centrada em x = 1 é dada por uma série de potências da forma:
y(x) = sumn=0^infty an (x - 1)^n
onde os coeficientes an são determinados pela relação de recorrência obtida durante a resolução.

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