Resolva as equações diferenciais utilizando o método das séries de potências:
, em torno de
.
Passo 1
Então, vamos resolver a equação diferencial
usando o método das séries de potências, centrada em
.
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e o método das séries de potências.
O que vamos precisar:
- Entender como representar a solução
como uma série de potências. - Calcular a derivada dessa série.
- Igualar os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar os coeficientes da série.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser expressa como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Calculamos a derivada de
em termos da série:
Podemos reescrever esse somatório começando de
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial:
Simplificamos o termo
:
Passo 5
Agora, ajustamos os índices dos somatórios para que ambos tenham potências de
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Substituímos de volta na equação:
Para
, apenas o primeiro somatório contribui, então:
Passo 7
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, cada coeficiente de
deve ser igual a zero:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, usamos a relação de recorrência para encontrar os coeficientes
. Vamos começar assumindo
como uma constante, digamos
.
Usando
, temos:
Para
:
Para
:
Para
:
Continuando esse processo, observamos que os coeficientes de ordem ímpar são zero e os de ordem par seguem uma certa sequência.
Passo 9
Podemos notar que os coeficientes
(onde
é um inteiro não negativo) são dados por:
Isso porque cada passo divide o coeficiente anterior por um múltiplo de 2.
Passo 10
Então, a solução geral da equação diferencial pode ser expressa pela série:
Essa série pode ser reconhecida como a expansão de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
utilizando o método das séries de potências em torno de
é:
onde
é a constante de integração.