Resolva as equações diferenciais utilizando o método das séries de potências:
y^prime-x y=0, em torno de x=0.

Passo 1

Então, vamos resolver a equação diferencial y' - x y = 0 usando o método das séries de potências, centrada em x = 0 .
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e o método das séries de potências.
O que vamos precisar:
  • Entender como representar a solução y(x) como uma série de potências.
  • Calcular a derivada dessa série.
  • Igualar os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar os coeficientes da série.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução y(x) pode ser expressa como uma série de potências em torno de x = 0 :
y(x) = sumn=0^infty an x^n
Aqui, an são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Calculamos a derivada de y(x) em termos da série:
y'(x) = sumn=0^infty an ddx x^n = sumn=0^infty an n x^n-1
Podemos reescrever esse somatório começando de n = 1 :
y'(x) = sumn=1^infty an n x^n-1

Passo 4

Substituímos y(x) e y'(x) na equação diferencial:
y'(x) - x y(x) = 0 implies sumn=1^infty an n x^n-1 - x sumn=0^infty an x^n = 0
Simplificamos o termo x y(x) :
x y(x) = sumn=0^infty an x^n+1

Passo 5

Agora, ajustamos os índices dos somatórios para que ambos tenham potências de x^n :
Para y'(x) :
sumn=1^infty an n x^n-1 = sumn=0^infty an+1 (n+1) x^n
Para x y(x) :
sumn=0^infty an x^n+1 = sumn=1^infty an-1 x^n

Passo 6

Substituímos de volta na equação:
sumn=0^infty an+1 (n+1) x^n - sumn=1^infty an-1 x^n = 0
Para n = 0 , apenas o primeiro somatório contribui, então:
a1 (1) x^0 + sumn=1^infty [ an+1 (n+1) - an-1 ] x^n = 0

Passo 7

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo x , cada coeficiente de x^n deve ser igual a zero:
Para n = 0 :
a1 = 0
Para n >= 1 :
an+1 (n+1) - an-1 = 0 implies an+1 = an-1n+1

Passo 8

Agora, usamos a relação de recorrência para encontrar os coeficientes an . Vamos começar assumindo a0 como uma constante, digamos a0 = C .
Usando a1 = 0 , temos:
a1 = 0
Para n = 1 :
a2 = a02 = C2
Para n = 2 :
a3 = a13 = 0
Para n = 3 :
a4 = a24 = C2 cdot 4 = C8
Continuando esse processo, observamos que os coeficientes de ordem ímpar são zero e os de ordem par seguem uma certa sequência.

Passo 9

Podemos notar que os coeficientes a2k (onde k é um inteiro não negativo) são dados por:
a2k = C2^k k!
Isso porque cada passo divide o coeficiente anterior por um múltiplo de 2.

Passo 10

Então, a solução geral da equação diferencial pode ser expressa pela série:
y(x) = sumk=0^infty a2k x^2k = sumk=0^infty C2^k k! x^2k
Essa série pode ser reconhecida como a expansão de C e^x^2/2 .

Resposta

A solução geral da equação diferencial y' - x y = 0 utilizando o método das séries de potências em torno de x = 0 é:
y(x) = C e^x^2/2
onde C é a constante de integração.

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