Determine:
  • domínio de f e as interseções com os eixos coordenados, caso existam.
  • as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
  • os intervalos onde f é crescente, os intervalos onde f é decrescente e os máximos e mínimos locais de f.
  • os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para baixo, os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima e os pontos de inflexão, caso existam.
  • esboce o gráfico de f e dê sua imagem
  1. f(x)=e^-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função f(x) = e^-x^2 . A gente vai analisar várias propriedades dessa função, como o domínio, interseções com os eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especialmente derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função f(x) = e^-x^2 . O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida.
A função exponencial e^u está definida para todo número real u . No nosso caso, u = -x^2 , e x^2 é sempre não negativo. Portanto, não há restrições no valor de x .
Domínio: R (todos os números reais)

Passo 3

Agora, vamos encontrar as interseções com os eixos coordenados.
  • Interseção com o eixo y: ocorre quando x = 0 .
    f(0) = e^-(0)^2 = e^0 = 1
    Então, a interseção com o eixo y é (0, 1) .
  • Interseções com o eixo x: ocorrem quando f(x) = 0 .
e^-x^2 = 0
A função exponencial nunca é zero para nenhum valor real de x . Portanto, não há interseções com o eixo x.

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas da função.
  • Assíntotas horizontais: são linhas paralelas ao eixo x que a função se aproxima mas nunca toca.
    Observando o comportamento de f(x) = e^-x^2 , quando x vai para +infty ou -infty :
    limlimitsx to pminfty e^-x^2 = 0
    Então, há uma assíntota horizontal em y = 0 .
  • Assíntotas verticais: são linhas paralelas ao eixo y que a função se aproxima mas nunca toca.
    Como vimos no domínio, a função está definida para todo x , então não há assíntotas verticais.

Passo 5

Vamos determinar onde a função é crescente ou decrescente e encontrar os máximos e mínimos locais.
Primeiro, calculamos a primeira derivada de f(x) :
f'(x) = ddx ( e^-x^2 ) = e^-x^2 cdot (-2x) = -2x e^-x^2
Para encontrar onde a função é crescente ou decrescente, analisamos o sinal de f'(x) :
  • Quando f'(x) > 0 , a função está crescente.
  • Quando f'(x) < 0 , a função está decrescente.
Analisando f'(x) = -2x e^-x^2 :
  • e^-x^2 é sempre positivo.
  • O sinal de f'(x) depende de -2x .
Portanto:
  • Se x < 0 , -2x > 0 f'(x) > 0 ⇒ função crescente.
  • Se x > 0 , -2x < 0 f'(x) < 0 ⇒ função decrescente.
  • Em x = 0 , f'(0) = 0 .
Assim, x = 0 é um ponto de máximo local.

Passo 6

Agora, vamos analisar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão.
Primeiro, calculamos a segunda derivada de f(x) :
f''(x) = ddx ( -2x e^-x^2 ) = -2 e^-x^2 + 4x^2 e^-x^2 = e^-x^2 (4x^2 - 2)
Para determinar a concavidade, observamos o sinal de f''(x) :
  • Se f''(x) > 0 , a função é côncava para cima.
  • Se f''(x) < 0 , a função é côncava para baixo.
Resolvendo f''(x) = 0 :
e^-x^2 (4x^2 - 2) = 0
Como e^-x^2 nunca é zero, resolvemos 4x^2 - 2 = 0 :
x^2 = 24 = 12
x = pm raiz22
Esses são possíveis pontos de inflexão. Agora verificamos os intervalos:
  • Para |x| < raiz22 , 4x^2 - 2 < 0 f''(x) < 0 ⇒ concava para baixo.
  • Para |x| > raiz22 , 4x^2 - 2 > 0 f''(x) > 0 ⇒ concava para cima.
Portanto, os pontos de inflexão são em x = pm raiz22 .

Passo 7

Por último, vamos esboçar o gráfico da função f(x) = e^-x^2 com base nas informações que obtivemos:
  • Domínio: Todos os x .
  • Interseção com o eixo y: (0, 1) .
  • Assíntota horizontal: y = 0 .
  • Cresce em: (-infty, 0) .
  • Decresce em: (0, +infty) .
  • Máximo local: (0, 1) .
  • Concavidade:
    • Para |x| < raiz22 , concava para baixo.
    • Para |x| > raiz22 , concava para cima.
  • Pontos de inflexão: x = pm raiz22 .
O gráfico será uma curva simétrica em relação ao eixo y, com um pico no ponto (0,1) , aproximando-se do eixo x (assíntota) conforme x vai para pm infty .

Resposta

O domínio de f(x) = e^-x^2 é R . A função intercepta o eixo y em (0, 1) e não possui interseções com o eixo x. Possui uma assíntota horizontal em y = 0 e nenhuma assíntota vertical. A função é crescente no intervalo (-infty, 0) e decrescente em (0, +infty) , com um máximo local no ponto (0, 1) . A concavidade é para baixo em (-raiz22, raiz22) e para cima em (-infty, -raiz22) e (raiz22, +infty) , com pontos de inflexão em x = pm raiz22 . O gráfico é uma curva simétrica em relação ao eixo y, com pico no ponto (0,1) e aproximando-se do eixo x conforme x tende ao infinito.

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