Determine:
- domínio de
e as interseções com os eixos coordenados, caso existam.
- as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
- os intervalos onde
é crescente, os intervalos onde
é decrescente e os máximos e mínimos locais de
.
- os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para baixo, os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para cima e os pontos de inflexão, caso existam.
- esboce o gráfico de
e dê sua imagem
-
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função
. A gente vai analisar várias propriedades dessa função, como o domínio, interseções com os eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especialmente derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função exponencial
está definida para todo número real
. No nosso caso,
, e
é sempre não negativo. Portanto, não há restrições no valor de
.
Domínio:
(todos os números reais)
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interseções com os eixos coordenados.
-
Interseção com o eixo y: ocorre quando
. Então, a interseção com o eixo y é. -
Interseções com o eixo x: ocorrem quando
.
A função exponencial nunca é zero para nenhum valor real de
. Portanto, não há interseções com o eixo x.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas da função.
-
Assíntotas horizontais: são linhas paralelas ao eixo x que a função se aproxima mas nunca toca.Observando o comportamento de
, quando vai para ou : Então, há uma assíntota horizontal em. -
Assíntotas verticais: são linhas paralelas ao eixo y que a função se aproxima mas nunca toca.Como vimos no domínio, a função está definida para todo
, então não há assíntotas verticais.
Passo 5
Vamos determinar onde a função é crescente ou decrescente e encontrar os máximos e mínimos locais.
Primeiro, calculamos a primeira derivada de
:
Para encontrar onde a função é crescente ou decrescente, analisamos o sinal de
:
- Quando
, a função está crescente. - Quando
, a função está decrescente.
Analisando
:
-
é sempre positivo. - O sinal de
depende de .
Portanto:
- Se
, ⇒ ⇒ função crescente. - Se
, ⇒ ⇒ função decrescente. - Em
, .
Assim,
é um ponto de máximo local.
Passo 6
Agora, vamos analisar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão.
Primeiro, calculamos a segunda derivada de
:
Para determinar a concavidade, observamos o sinal de
:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Resolvendo
:
Como
nunca é zero, resolvemos
:
Esses são possíveis pontos de inflexão. Agora verificamos os intervalos:
- Para
, ⇒ ⇒ concava para baixo. - Para
, ⇒ ⇒ concava para cima.
Portanto, os pontos de inflexão são em
.
Passo 7
Por último, vamos esboçar o gráfico da função
com base nas informações que obtivemos:
- Domínio: Todos os
. - Interseção com o eixo y:
. - Assíntota horizontal:
. - Cresce em:
. - Decresce em:
. - Máximo local:
. - Concavidade:
- Para
, concava para baixo. - Para
, concava para cima.
- Para
- Pontos de inflexão:
.
O gráfico será uma curva simétrica em relação ao eixo y, com um pico no ponto
, aproximando-se do eixo x (assíntota) conforme
vai para
.
Resposta
O domínio de
é
. A função intercepta o eixo y em
e não possui interseções com o eixo x. Possui uma assíntota horizontal em
e nenhuma assíntota vertical. A função é crescente no intervalo
e decrescente em
, com um máximo local no ponto
. A concavidade é para baixo em
e para cima em
e
, com pontos de inflexão em
. O gráfico é uma curva simétrica em relação ao eixo y, com pico no ponto
e aproximando-se do eixo x conforme
tende ao infinito.