Determine o domínio, as interseções com os eixos e encontre as assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas de cada função a seguir, caso existam.
y=\frac{-2 x^{2}}{x^{2}+1}

Passo 1

Enunciado e o que é pedido: a função dada é y=\dfrac{-2x^{2}}{x^{2}+1}. O que o exercício pede:
  • Determinar o domínio.
  • Determinar as interseções com os eixos (pontos onde a curva corta os eixos x e y).
  • Encontrar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas, caso existam.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função é dada pela expressão racional \dfrac{-2x^{2}}{x^{2}+1}.
  • Não há figura anexa nem outras condições; tudo que precisamos está na expressão acima.

Passo 2

Determinar o domínio: o domínio de uma função racional é o conjunto de x para os quais o denominador é diferente de zero. Aqui o denominador é x^{2}+1. Observação sobre essa expressão: x^{2}\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}, então
x^{2}+1 \ge 1>0
para todo x. Logo x^{2}+1 nunca é zero e nunca muda de sinal. Conclusão: não existe valor de x que torne a função indefinida. Portanto o domínio é todo o conjunto dos reais:
\text{Domínio}=\mathbb{R}=(-\infty,\infty).í

Passo 3

Interseção com o eixo y (quando x=0): substituímos x=0 na função para obter o ponto onde corta o eixo vertical. Calculamos
y(0)=\frac{-2\cdot 0^{2}}{0^{2}+1}=\frac{0}{1}=0.
Portanto a interseção com o eixo y é o ponto (0,0).

Passo 4

Interseções com o eixo x (quando y=0): para achar as raízes, resolvemos
\frac{-2x^{2}}{x^{2}+1}=0.
Uma fração é zero quando o numerador é zero (e o denominador não é zero). O numerador é -2x^{2}, então
-2x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Como já vimos o denominador x^{2}+1 não é zero em x=0, esse ponto é válido. Conclusão: o único ponto de interseção com o eixo x é (0,0). Assim a curva corta ambos os eixos apenas na origem.

Passo 5

Assíntotas verticais — definição e verificação: uma assíntota vertical ocorre em x=a se a função tende a \pm\infty quando x\to a ou se o denominador se anula em a (e o numerador não anula de forma a cancelar). Aqui o denominador é x^{2}+1 e não tem raízes reais, pois x^{2}+1>0 para todo x. Logo não existe a\in\mathbb{R} tal que o denominador seja zero. Portanto não há pontos onde a função explode para infinito e não há assíntotas verticais:
\text{Assíntotas verticais: nenhuma.}í

Passo 6

Assíntotas horizontais — definição e cálculo: uma assíntota horizontal y=L existe se o limite da função quando x\to\infty (ou x\to -\infty) for um número finito L. Uma forma prática para funções racionais é comparar os graus (potências) do polinômio do numerador e do denominador.
Aqui o grau do numerador é 2 e o grau do denominador também é 2. Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a reta y= razão dos coeficientes líderes (coeficientes das maiores potências). O coeficiente líder do numerador é -2 e do denominador é 1. Assim a candidata é y=-2.
Para confirmar por limite, dividimos numerador e denominador por x^{2} (método algébrico):
\lim_{x\to\infty}\frac{-2x^{2}}{x^{2}+1} =\lim_{x\to\infty}\frac{-2}{1+\tfrac{1}{x^{2}}}=-2.
O mesmo raciocínio vale para x\to -\infty:
\lim_{x\to -\infty}\frac{-2x^{2}}{x^{2}+1}=-2.
Portanto existe uma assíntota horizontal à esquerda e à direita:
\text{Assíntota horizontal: } y=-2.í

Passo 7

Comportamento em relação à assíntota horizontal (de que lado a curva se aproxima): é útil escrever a função como a soma da assíntota mais um termo que vai a zero. Fazendo a divisão algébrica ou reescrevendo:
\frac{-2x^{2}}{x^{2}+1}=-2+\frac{2}{x^{2}+1}.
Aqui explico os passos: somando e subtraindo -2 nos dá o termo residual \dfrac{2}{x^{2}+1}. Note que \dfrac{2}{x^{2}+1}>0 para todo x. Assim
y=-2+\frac{2}{x^{2}+1} > -2\quad\text{para todo }x.
Isto significa que a curva está sempre acima da reta y=-2 e vai aproximando-se dela por cima quando |x|\to\infty.

Passo 8

Assíntotas oblíquas — definição e verificação rápida: uma assíntota oblíqua ao infinito aparece quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o grau do denominador; nesse caso divide-se polinômios para obter a reta oblíqua y=mx+b. Aqui os graus são iguais (ambos 2), não são diferentes em 1, portanto não há assíntota oblíqua. Conclusão:
\text{Assíntotas oblíquas: nenhuma.}íí

Passo 9

Observações finais úteis para a prova (resumo de propriedades que ajudam a entender o gráfico): a função é par (depende de x^{2}), logo é simétrica em relação ao eixo y. Também, como vimos, -2<y\le 0 para todo x, então a imagem (intervalo de valores) é (-2,0]. Essas observações não eram pedidas explicitamente, mas ajudam a visualizar o gráfico e confirmar a assíntota horizontal.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.\n
Interseções com os eixos: (0,0) (única interseção com x e y).\n
Assíntotas verticais: nenhuma.\n
Assíntota horizontal: y=-2.\n
Assíntotas oblíquas: nenhuma.

Exercícios relacionados