Determine o domínio, as interseções com os eixos e encontre as assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas de cada função a seguir, caso existam.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido: a função dada é
. O que o exercício pede:
- Determinar o domínio.
- Determinar as interseções com os eixos (pontos onde a curva corta os eixos
e ). - Encontrar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas, caso existam.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A função é dada pela expressão racional
. - Não há figura anexa nem outras condições; tudo que precisamos está na expressão acima.
Passo 2
Determinar o domínio: o domínio de uma função racional é o conjunto de
para os quais o denominador é diferente de zero. Aqui o denominador é
. Observação sobre essa expressão:
para todo
, então
para todo
. Logo
nunca é zero e nunca muda de sinal. Conclusão: não existe valor de
que torne a função indefinida. Portanto o domínio é todo o conjunto dos reais:
Passo 3
Interseção com o eixo
(quando
): substituímos
na função para obter o ponto onde corta o eixo vertical. Calculamos
Portanto a interseção com o eixo
é o ponto
.
Passo 4
Interseções com o eixo
(quando
): para achar as raízes, resolvemos
Uma fração é zero quando o numerador é zero (e o denominador não é zero). O numerador é
, então
Como já vimos o denominador
não é zero em
, esse ponto é válido. Conclusão: o único ponto de interseção com o eixo
é
. Assim a curva corta ambos os eixos apenas na origem.
Passo 5
Assíntotas verticais — definição e verificação: uma assíntota vertical ocorre em
se a função tende a
quando
ou se o denominador se anula em
(e o numerador não anula de forma a cancelar). Aqui o denominador é
e não tem raízes reais, pois
para todo
. Logo não existe
tal que o denominador seja zero. Portanto não há pontos onde a função explode para infinito e não há assíntotas verticais:
Passo 6
Assíntotas horizontais — definição e cálculo: uma assíntota horizontal
existe se o limite da função quando
(ou
) for um número finito
. Uma forma prática para funções racionais é comparar os graus (potências) do polinômio do numerador e do denominador.
Aqui o grau do numerador é
e o grau do denominador também é
. Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a reta
razão dos coeficientes líderes (coeficientes das maiores potências). O coeficiente líder do numerador é
e do denominador é
. Assim a candidata é
.
Para confirmar por limite, dividimos numerador e denominador por
(método algébrico):
O mesmo raciocínio vale para
:
Portanto existe uma assíntota horizontal à esquerda e à direita:
Passo 7
Comportamento em relação à assíntota horizontal (de que lado a curva se aproxima): é útil escrever a função como a soma da assíntota mais um termo que vai a zero. Fazendo a divisão algébrica ou reescrevendo:
Aqui explico os passos: somando e subtraindo
nos dá o termo residual
. Note que
para todo
. Assim
Isto significa que a curva está sempre acima da reta
e vai aproximando-se dela por cima quando
.
Passo 8
Assíntotas oblíquas — definição e verificação rápida: uma assíntota oblíqua ao infinito aparece quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o grau do denominador; nesse caso divide-se polinômios para obter a reta oblíqua
. Aqui os graus são iguais (ambos 2), não são diferentes em 1, portanto não há assíntota oblíqua. Conclusão:
Passo 9
Observações finais úteis para a prova (resumo de propriedades que ajudam a entender o gráfico): a função é par (depende de
), logo é simétrica em relação ao eixo
. Também, como vimos,
para todo
, então a imagem (intervalo de valores) é
. Essas observações não eram pedidas explicitamente, mas ajudam a visualizar o gráfico e confirmar a assíntota horizontal.
Resposta
Domínio:
.\n
Interseções com os eixos: (única interseção com
e
).\n
Assíntotas verticais: nenhuma.\n
Assíntota horizontal: .\n
Assíntotas oblíquas: nenhuma.
Interseções com os eixos:
Assíntotas verticais: nenhuma.\n
Assíntota horizontal:
Assíntotas oblíquas: nenhuma.