Determine o domínio, as interseções com os eixos e encontre as assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas de cada função a seguir, caso existam.
Passo 1
O enunciado pede para cada item abaixo, aplicados à função
que eu vou chamar só de
:
- Determinar o domínio.
- Encontrar as interseções com os eixos (isto é, pontos onde a curva corta os eixos
e ). - Encontrar as assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas, quando existirem.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (que vamos usar na resolução):
- O numerador é
. - O denominador é
. Note que o denominador se anula quando , ou seja, quando . Essas são prováveis fontes de problema (pontos que podem não pertencer ao domínio e onde podem existir assíntotas verticais).
Passo 2
Domínio — conceito e aplicação passo a passo:
- O domínio de uma função racional é todo
que não faz o denominador ser zero (porque divisão por zero não existe). - Aqui o denominador é
. Para que o denominador seja zero precisamos de
- Resolvo isso:
então . - Como o denominador é zero nesses pontos, eles devem ser excluídos do domínio. A potência ao quadrado não cria novos zeros; ela só reforça a ordem do zero em
. - Conclusão: o domínio é todos os reais exceto
, isto é
Passo 3
Interseções com os eixos — como encontrar e cálculo:
- Interseção com o eixo
: ocorre em . Substituo em :
Logo a interseção com o eixo
é o ponto
.
- Interseções com o eixo
(raízes): são os tais que . Uma fração é zero quando o numerador é zero (e o denominador não é zero). O numerador é , então implica . Verifico que está no domínio (sim), então é um intercepto no eixo . - Conclusão: a curva corta os eixos no mesmo ponto
. (Observação: a função é não-negativa para todo — pois é quociente de termos quadrados — por isso a única raiz é .)
Passo 4
Assíntotas verticais — teoria e aplicação:
- Regra: pontos onde o denominador se anula e o numerador não se anula normalmente geram assíntotas verticais; o comportamento (tender a
ou ) depende do sinal das funções próximas ao ponto e da ordem do zero. - Aqui já vimos que
anulam o denominador. Verifico o numerador nesses pontos:
- Como numerador é não nulo e denominador vai a zero, teremos assíntotas verticais em
e .
Passo 5
Comportamento próximo das assíntotas verticais (detalhe didático — para saber se tende a
ou
):
- Escrevo o denominador fatorado:
. Então
- Observe que
e são quadrados, logo são sempre não-negativos e tendem a zero como quadrado da distância ao ponto respectivo. O numerador é não-negativo também. Portanto, nas vizinhanças de e a função tende a por ambos os lados (porque temos um termo do tipo constante dividido por ou ). - Para ver de forma aproximada perto de
: escrevo com . Então e
- Mesmo raciocínio vale para
. Portanto:
- Conclusão: assíntotas verticais em
e , com divergência para em ambos os lados.
Passo 6
Assíntota horizontal — teoria e aplicação:
- Para funções racionais, comparar os graus (grau do polinômio do numerador vs grau do denominador) nos diz a assíntota horizontal:
- Se grau(num) < grau(den), então
é assíntota horizontal. - Se grau(num) = grau(den), assíntota horizontal é razão dos coeficientes líderes.
- Se grau(num) > grau(den), pode haver assíntota oblíqua ou polinomial (usar divisão).
- Se grau(num) < grau(den), então
- Aqui grau do numerador é
(pois ) e grau do denominador é (pois ). Como , segue que
ou seja,
é assíntota horizontal.
- Importante: a função cruza essa assíntota no ponto
— isto é comum, assíntota horizontal não impede cortes finitos.
Passo 7
Assíntota oblíqua — verificação e explicação:
- Assíntota oblíqua (reta inclinada
) aparece quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o grau do denominador (grau(num) = grau(den)+1); fazemos divisão polinomial para obter a reta. - Aqui grau(num)
2 e grau(den) 4, logo grau(num) < grau(den) — não há assíntota oblíqua. - Conclusão: não existe assíntota oblíqua.
Passo 8
Outras observações úteis para a prova (didática curta):
- A função é par:
, porque só aparecem potências pares. Isso explica a simetria em torno do eixo . - A função é não-negativa para todo
do domínio (numerador e denominador são quadrados ou múltiplos de quadrados). - Resumo dos comportamentos já calculados: domínio, interseção no origem, assíntotas verticais em
com tendência a , e assíntota horizontal .
Resposta
Domínio:
Interseções com os eixos: corta em (tanto eixo
quanto eixo
)
Assíntotas verticais: e
(com
)
Assíntota horizontal:
Assíntota oblíqua: não existe
Interseções com os eixos: corta em
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Assíntota oblíqua: não existe