Determine o domínio, as interseções com os eixos e encontre as assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas de cada função a seguir, caso existam.
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{2 x^{2}}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para cada item abaixo, aplicados à função
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{2 x^{2}}{\left(x^{2}-4\right)^{2}},
que eu vou chamar só de f(x):
  • Determinar o domínio.
  • Encontrar as interseções com os eixos (isto é, pontos onde a curva corta os eixos x e y).
  • Encontrar as assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas, quando existirem.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (que vamos usar na resolução):
  • O numerador é 2x^{2}.
  • O denominador é (x^{2}-4)^{2}. Note que o denominador se anula quando x^{2}-4=0, ou seja, quando x=\pm 2. Essas são prováveis fontes de problema (pontos que podem não pertencer ao domínio e onde podem existir assíntotas verticais).

Passo 2

Domínio — conceito e aplicação passo a passo:
  • O domínio de uma função racional é todo x que não faz o denominador ser zero (porque divisão por zero não existe).
  • Aqui o denominador é (x^{2}-4)^{2}. Para que o denominador seja zero precisamos de
x^{2}-4=0.
  • Resolvo isso: x^{2}=4 então x=\pm 2.
  • Como o denominador é zero nesses pontos, eles devem ser excluídos do domínio. A potência ao quadrado não cria novos zeros; ela só reforça a ordem do zero em x=\pm 2.
  • Conclusão: o domínio é todos os reais exceto \pm 2, isto é
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{\,-2,\,2\,\}.

Passo 3

Interseções com os eixos — como encontrar e cálculo:
  • Interseção com o eixo y: ocorre em x=0. Substituo x=0 em f(x):
f(0)=\frac{2\cdot 0^{2}}{(0^{2}-4)^{2}}=\frac{0}{(-4)^{2}}=0.
Logo a interseção com o eixo y é o ponto (0,0).
  • Interseções com o eixo x (raízes): são os x tais que f(x)=0. Uma fração é zero quando o numerador é zero (e o denominador não é zero). O numerador é 2x^{2}, então 2x^{2}=0 implica x=0. Verifico que x=0 está no domínio (sim), então é um intercepto no eixo x.
  • Conclusão: a curva corta os eixos no mesmo ponto (0,0). (Observação: a função é não-negativa para todo x — pois é quociente de termos quadrados — por isso a única raiz é x=0.)

Passo 4

Assíntotas verticais — teoria e aplicação:
  • Regra: pontos onde o denominador se anula e o numerador não se anula normalmente geram assíntotas verticais; o comportamento (tender a +\infty ou -\infty) depende do sinal das funções próximas ao ponto e da ordem do zero.
  • Aqui já vimos que x=\pm 2 anulam o denominador. Verifico o numerador nesses pontos:
\text{para }x=2:\quad 2x^{2}=2\cdot 2^{2}=8\neq 0,
\text{para }x=-2:\quad 2x^{2}=2\cdot (-2)^{2}=8\neq 0.
  • Como numerador é não nulo e denominador vai a zero, teremos assíntotas verticais em x=2 e x=-2.

Passo 5

Comportamento próximo das assíntotas verticais (detalhe didático — para saber se tende a +\infty ou -\infty):
  • Escrevo o denominador fatorado: x^{2}-4=(x-2)(x+2). Então
f(x)=\frac{2x^{2}}{\big((x-2)(x+2)\big)^{2}}=\frac{2x^{2}}{(x-2)^{2}(x+2)^{2}}.
  • Observe que (x-2)^{2} e (x+2)^{2} são quadrados, logo são sempre não-negativos e tendem a zero como quadrado da distância ao ponto respectivo. O numerador 2x^{2} é não-negativo também. Portanto, nas vizinhanças de x=2 e x=-2 a função tende a +\infty por ambos os lados (porque temos um termo do tipo constante dividido por (x-2)^{2} ou (x+2)^{2}).
  • Para ver de forma aproximada perto de x=2: escrevo x=2+h com h\to 0. Então x+2\approx 4 e
f(2+h)\approx\frac{2\cdot 2^{2}}{(h)^{2}\cdot 4^{2}}=\frac{8}{16\,h^{2}}=\frac{1}{2h^{2}}\to +\infty\quad\text{quando }h\to 0.
  • Mesmo raciocínio vale para x\to -2. Portanto:
\lim_{x\to 2^{\pm}} f(x) = +\infty,\qquad \lim_{x\to (-2)^{\pm}} f(x)= +\infty.
  • Conclusão: assíntotas verticais em x=2 e x=-2, com divergência para +\infty em ambos os lados.

Passo 6

Assíntota horizontal — teoria e aplicação:
  • Para funções racionais, comparar os graus (grau do polinômio do numerador vs grau do denominador) nos diz a assíntota horizontal:
    • Se grau(num) < grau(den), então y=0 é assíntota horizontal.
    • Se grau(num) = grau(den), assíntota horizontal é razão dos coeficientes líderes.
    • Se grau(num) > grau(den), pode haver assíntota oblíqua ou polinomial (usar divisão).
  • Aqui grau do numerador é 2 (pois 2x^{2}) e grau do denominador é 4 (pois (x^{2})^{2}=x^{4}). Como 2<4, segue que
\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=0,
ou seja, y=0 é assíntota horizontal.
  • Importante: a função cruza essa assíntota no ponto (0,0) — isto é comum, assíntota horizontal não impede cortes finitos.

Passo 7

Assíntota oblíqua — verificação e explicação:
  • Assíntota oblíqua (reta inclinada y=mx+b) aparece quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o grau do denominador (grau(num) = grau(den)+1); fazemos divisão polinomial para obter a reta.
  • Aqui grau(num) = 2 e grau(den) = 4, logo grau(num) < grau(den) — não há assíntota oblíqua.
  • Conclusão: não existe assíntota oblíqua.

Passo 8

Outras observações úteis para a prova (didática curta):
  • A função é par: f(-x)=f(x), porque só aparecem potências pares. Isso explica a simetria em torno do eixo y.
  • A função é não-negativa para todo x do domínio (numerador e denominador são quadrados ou múltiplos de quadrados).
  • Resumo dos comportamentos já calculados: domínio, interseção no origem, assíntotas verticais em \pm 2 com tendência a +\infty, e assíntota horizontal y=0.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{\,-2,\,2\,\}
Interseções com os eixos: corta em (0,0) (tanto eixo x quanto eixo y)
Assíntotas verticais: x=-2 e x=2 (com \lim_{x\to\pm2}f(x)=+\infty)
Assíntota horizontal: y=0
Assíntota oblíqua: não existe

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