Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
y=\frac{x-1}{x^{2}+2}+\sqrt{x}+\ln 5

Passo 1

O enunciado pede para determinar a expressão da derivada da função
y=\frac{x-1}{x^{2}+2}+\sqrt{x}+\ln 5.
Informações relevantes que recebemos:
\text{1)}\quad \text{Primeiro termo: }\frac{x-1}{x^{2}+2}.
\text{2)}\quad \text{Segundo termo: }\sqrt{x}.
\text{3)}\quad \text{Terceiro termo: }\ln 5\\ (\text{constante}).
A tarefa é calcular y', a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Regra de linearidade (soma): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, para funções f e g,
\frac{d}{dx}\big(f(x)+g(x)\big)=f'(x)+g'(x).
Aplicando aqui, escrevemos
y'=\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x^{2}+2}\right)+\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\big)+\frac{d}{dx}\big(\ln 5\big).
Agora vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 3

Derivada de uma constante: para qualquer constante C,
\frac{d}{dx}\text{(C)}=0.
Como \ln 5 é uma constante (não depende de x), temos
\frac{d}{dx}\big(\ln 5\big)=0.

Passo 4

Derivada de \sqrt{x}: reescrevemos \sqrt{x}=x^{1/2}. Usamos a regra da potência:
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1},
onde n é um número real. Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\big)=\frac{d}{dx}\big(x^{1/2}\big)=\frac{1}{2}x^{-1/2}.
Voltando à forma de raiz,
\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
(Observação prática: essa derivada existe para x>0; em x=0 a expressão \tfrac{1}{2\sqrt{x}} não é definida.)

Passo 5

Derivada do quociente \dfrac{x-1}{x^{2}+2}: usamos a regra do quociente. Se u(x) e v(x) são diferenciáveis e v(x)\neq0, então
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v - u v'}{v^{2}}.
Aqui escolhemos
u(x)=x-1,\quad v(x)=x^{2}+2.
Calculamos as derivadas u' e v':
u'(x)=\frac{d}{dx}(x-1)=1,
v'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}+2)=2x.
Agora aplicamos a fórmula do quociente:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x^{2}+2}\right) =\frac{(1)(x^{2}+2)-(x-1)(2x)}{(x^{2}+2)^{2}}.
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
(1)(x^{2}+2)=x^{2}+2,
(x-1)(2x)=2x(x-1)=2x^{2}-2x.
Subtraindo:
x^{2}+2-(2x^{2}-2x)=x^{2}+2-2x^{2}+2x=-x^{2}+2x+2.
Portanto
\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x^{2}+2}\right)=\frac{-x^{2}+2x+2}{(x^{2}+2)^{2}}.

Passo 6

Agora somamos os termos que calculamos nos passos anteriores:
y'=\frac{-x^{2}+2x+2}{(x^{2}+2)^{2}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}+0.
Eliminando o zero final, obtemos a expressão final da derivada:
y'=\frac{-x^{2}+2x+2}{(x^{2}+2)^{2}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Breve comentário de aluno para aluno: a parte mais trabalhosa aqui foi aplicar corretamente a regra do quociente e simplificar o numerador; a derivada da raiz e da constante são diretas. Força — você já dominou a ideia principal!

Resposta

y'=\frac{-x^{2}+2x+2}{(x^{2}+2)^{2}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}

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