Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a expressão da derivada da função
Informações relevantes que recebemos:
A tarefa é calcular
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Regra de linearidade (soma): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, para funções
e
,
Aplicando aqui, escrevemos
Agora vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 3
Derivada de uma constante: para qualquer constante
,
Como
é uma constante (não depende de
), temos
Passo 4
Derivada de
: reescrevemos
. Usamos a regra da potência:
onde
é um número real. Aqui
, então
Voltando à forma de raiz,
(Observação prática: essa derivada existe para
; em
a expressão
não é definida.)
Passo 5
Derivada do quociente
: usamos a regra do quociente. Se
e
são diferenciáveis e
, então
Aqui escolhemos
Calculamos as derivadas
e
:
Agora aplicamos a fórmula do quociente:
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Subtraindo:
Portanto
Passo 6
Agora somamos os termos que calculamos nos passos anteriores:
Eliminando o zero final, obtemos a expressão final da derivada:
Breve comentário de aluno para aluno: a parte mais trabalhosa aqui foi aplicar corretamente a regra do quociente e simplificar o numerador; a derivada da raiz e da constante são diretas. Força — você já dominou a ideia principal!