Determine o domínio, as interseções com os eixos e encontre as assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas de cada função a seguir, caso existam.
y=\frac{4-x^{2}}{x^{2}-3 x}

Passo 1

Enunciado e o que se pede. Temos a função
y=\frac{4-x^{2}}{x^{2}-3x}.
As perguntas que o enunciado faz e que vamos responder são:
  1. Determinar o domínio da função.
  2. Determinar as interseções com os eixos (pontos onde a curva corta os eixos x e y).
  3. Encontrar as assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas, quando existirem.
As informações dadas são apenas a expressão racional acima. Não há figura nem outra informação adicional.

Passo 2

Análise do denominador e domínio. Para achar o domínio de uma função racional, precisamos garantir que o denominador não seja zero (pois divisão por zero não é definida). Vamos fatorar o denominador:
x^{2}-3x = x(x-3).
O denominador é zero quando x=0 ou x=3. Portanto esses valores são proibidos no domínio, a menos que ocorra um cancelamento com o numerador (caso de «buraco»). Agora fatoramos o numerador para checar cancelamentos:
4-x^{2} = -(x^{2}-4) = -(x-2)(x+2).
Não há nenhum fator comum entre o numerador -(x-2)(x+2) e o denominador x(x-3). Logo não há cancelamento: os pontos x=0 e x=3 são realmente singulares da função (não são buracos removíveis). Conclusão:
  • Domínio: todos os reais exceto 0 e 3, isto é
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0,3\}.

Passo 3

Interseções com os eixos — procedimento e cálculo.
  • Interseção com o eixo x (raízes): são os x tais que y=0. Para uma função racional isso ocorre quando o numerador é zero (desde que o x esteja no domínio). Resolvendo
4-x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.
Verificamos x=\pm 2 pertencem ao domínio (não são 0 nem 3), então temos dois cortes com o eixo x: os pontos (-2,0) e (2,0).
  • Interseção com o eixo y: ocorre em x=0. Mas x=0 não pertence ao domínio (denominador zero), portanto NÃO existe interseção com o eixo y (não há y-intercepto).
Resumo:
  • Interseções com o eixo x: (-2,0) e (2,0).
  • Interseção com o eixo y: não existe.

Passo 4

Assíntotas verticais — definição e aplicação.
Definição prática: se em x=a o denominador tende a zero e o numerador tende a um valor não nulo (e não houve cancelamento), a função costuma divergir para \pm\infty quando x\to a^\pm, e então x=a é uma assíntota vertical.
Aqui os zeros do denominador são x=0 e x=3, e já vimos que não há cancelamento. Então são candidatos a assíntotas verticais. Para caracterizar o sinal da divergência, examinamos os limites laterais observando o sinal de numerador e denominador próximos desses pontos.
Primeiro, comportamento próximo de x=0:
  • Numerador em x\approx 0: 4-x^{2}\approx 4>0.
  • Denominador em x\approx 0: x(x-3).
    • Para x\to 0^{-} (pequeno negativo): x<0 e x-3<0 ⇒ produto >0 (pequeno positivo). Logo a função tende a +\infty.
    • Para x\to 0^{+} (pequeno positivo): x>0 e x-3<0 ⇒ produto <0 (pequeno negativo). Logo a função tende a -\infty.
      Portanto
\lim_{x\to 0^-} \frac{4-x^{2}}{x^{2}-3x}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0^+} \frac{4-x^{2}}{x^{2}-3x}=-\infty,
e x=0 é assíntota vertical.
Agora, comportamento próximo de x=3:
  • Numerador em x\approx 3: 4-x^{2}=4-9=-5<0.
  • Denominador em x\approx 3: x(x-3).
    • Para x\to 3^{-} (à esquerda de 3): x>0 e x-3<0 ⇒ produto <0 (pequeno negativo). Numerador é negativo, logo negativo dividido por negativo → positivo grande: +\infty.
    • Para x\to 3^{+} (à direita de 3): x>0 e x-3>0 ⇒ produto >0 (pequeno positivo). Numerador negativo ⇒ razão -\infty.
      Portanto
\lim_{x\to 3^-} \frac{4-x^{2}}{x^{2}-3x}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 3^+} \frac{4-x^{2}}{x^{2}-3x}=-\infty,
e x=3 é assíntota vertical.

Passo 5

Assíntotas horizontais ou oblíquas — regra geral e aplicação.
Regra prática para funções racionais p(x)/q(x), com p e q polinômios:
  • Se \deg(p)<\deg(q), a assíntota horizontal é y=0.
  • Se \deg(p)=\deg(q), a assíntota horizontal é y= razão dos coeficientes líderes.
  • Se \deg(p)=\deg(q)+1, pode haver uma assíntota oblíqua (reta do tipo y=ax+b) obtida por divisão polinomial.
  • Se \deg(p)>\deg(q)+1, a assíntota oblíqua não é uma reta simples (não aplicável no nível desta questão).
Aqui \deg(\text{num})=2 e \deg(\text{den})=2, logo graus iguais. Coeficiente líder do numerador 4-x^{2} é -1 (pois 4-x^{2} = -x^{2}+0x+4) e do denominador x^{2}-3x é 1. Portanto a assíntota horizontal é
y=\frac{-1}{1}=-1.
Para ficar mais claro e demonstrar que não há oblíqua, fazemos a divisão polinomial: dividir -x^{2}+0x+4 por x^{2}-3x.
  • O quociente é -1 e o resto é -3x+4. Assim escrevemos
\frac{4-x^{2}}{x^{2}-3x} = -1 + \frac{-3x+4}{x^{2}-3x}.
Como \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-3x+4}{x^{2}-3x}=0 (resto tem grau menor que o denominador), obtemos
\lim_{x\to\pm\infty} y = -1,
confirmando a assíntota horizontal y=-1. Não há assíntota oblíqua (slant), pois o grau do numerador não é exatamente um a mais que o do denominador.

Passo 6

Recapitulando e interpretando geometricamente (dicas para a prova).
  • Domínio cortado em x=0 e x=3 → a curva tem duas “ramos” separados por essas verticais; perto de cada vertical a função diverge para \pm\infty com os sinais que calculamos.
  • Para valores muito grandes |x|, a curva se aproxima da reta horizontal y=-1.
  • Zeros em x=\pm 2 são onde a curva cruza o eixo x.
    Na prova, lembre-se de: (i) fatorar numerador e denominador para ver cancelamentos, (ii) comparar graus para assíntota horizontal/oblíqua, (iii) checar limites laterais para confirmar natureza das verticais.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{0,3\}.
Interseções com os eixos: (-2,0) e (2,0). Não há interseção com o eixo y.
Assíntotas verticais: x=0 e x=3.
Assíntota horizontal: y=-1.
Assíntota oblíqua: nenhuma.

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