Determine o domínio, as interseções com os eixos e encontre as assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas de cada função a seguir, caso existam.
Passo 1
Enunciado e o que se pede. Temos a função
As perguntas que o enunciado faz e que vamos responder são:
- Determinar o domínio da função.
- Determinar as interseções com os eixos (pontos onde a curva corta os eixos
e ). - Encontrar as assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas, quando existirem.
As informações dadas são apenas a expressão racional acima. Não há figura nem outra informação adicional.
Passo 2
Análise do denominador e domínio. Para achar o domínio de uma função racional, precisamos garantir que o denominador não seja zero (pois divisão por zero não é definida). Vamos fatorar o denominador:
O denominador é zero quando
ou
. Portanto esses valores são proibidos no domínio, a menos que ocorra um cancelamento com o numerador (caso de «buraco»). Agora fatoramos o numerador para checar cancelamentos:
Não há nenhum fator comum entre o numerador
e o denominador
. Logo não há cancelamento: os pontos
e
são realmente singulares da função (não são buracos removíveis). Conclusão:
- Domínio: todos os reais exceto
e , isto é
Passo 3
Interseções com os eixos — procedimento e cálculo.
- Interseção com o eixo
(raízes): são os tais que . Para uma função racional isso ocorre quando o numerador é zero (desde que o esteja no domínio). Resolvendo
Verificamos
pertencem ao domínio (não são
nem
), então temos dois cortes com o eixo
: os pontos
e
.
- Interseção com o eixo
: ocorre em . Mas não pertence ao domínio (denominador zero), portanto NÃO existe interseção com o eixo (não há -intercepto).
Resumo:
- Interseções com o eixo
: e . - Interseção com o eixo
: não existe.
Passo 4
Assíntotas verticais — definição e aplicação.
Definição prática: se em o denominador tende a zero e o numerador tende a um valor não nulo (e não houve cancelamento), a função costuma divergir para
quando
, e então
é uma assíntota vertical.
Definição prática: se em
Aqui os zeros do denominador são
e
, e já vimos que não há cancelamento. Então são candidatos a assíntotas verticais. Para caracterizar o sinal da divergência, examinamos os limites laterais observando o sinal de numerador e denominador próximos desses pontos.
Primeiro, comportamento próximo de
:
- Numerador em
: . - Denominador em
: . - Para
(pequeno negativo): e ⇒ produto (pequeno positivo). Logo a função tende a . - Para
(pequeno positivo): e ⇒ produto (pequeno negativo). Logo a função tende a .
Portanto
- Para
e
é assíntota vertical.
Agora, comportamento próximo de
:
- Numerador em
: . - Denominador em
: . - Para
(à esquerda de 3): e ⇒ produto (pequeno negativo). Numerador é negativo, logo negativo dividido por negativo → positivo grande: . - Para
(à direita de 3): e ⇒ produto (pequeno positivo). Numerador negativo ⇒ razão .
Portanto
- Para
e
é assíntota vertical.
Passo 5
Assíntotas horizontais ou oblíquas — regra geral e aplicação.
Regra prática para funções racionais , com
e
polinômios:
Regra prática para funções racionais
- Se
, a assíntota horizontal é . - Se
, a assíntota horizontal é razão dos coeficientes líderes. - Se
, pode haver uma assíntota oblíqua (reta do tipo ) obtida por divisão polinomial. - Se
, a assíntota oblíqua não é uma reta simples (não aplicável no nível desta questão).
Aqui
e
, logo graus iguais. Coeficiente líder do numerador
é
(pois
) e do denominador
é
. Portanto a assíntota horizontal é
Para ficar mais claro e demonstrar que não há oblíqua, fazemos a divisão polinomial: dividir
por
.
- O quociente é
e o resto é . Assim escrevemos
Como
(resto tem grau menor que o denominador), obtemos
confirmando a assíntota horizontal
. Não há assíntota oblíqua (slant), pois o grau do numerador não é exatamente um a mais que o do denominador.
Passo 6
Recapitulando e interpretando geometricamente (dicas para a prova).
- Domínio cortado em
e → a curva tem duas “ramos” separados por essas verticais; perto de cada vertical a função diverge para com os sinais que calculamos. - Para valores muito grandes
, a curva se aproxima da reta horizontal . - Zeros em
são onde a curva cruza o eixo .
Na prova, lembre-se de: (i) fatorar numerador e denominador para ver cancelamentos, (ii) comparar graus para assíntota horizontal/oblíqua, (iii) checar limites laterais para confirmar natureza das verticais.
Resposta
Domínio:
.
Interseções com os eixos:
e
. Não há interseção com o eixo
.
Assíntotas verticais:
e
.
Assíntota horizontal:
.
Assíntota oblíqua: nenhuma.