Determine o domínio, as interseções com os eixos e encontre as assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas de cada função a seguir, caso existam.
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{x^{3}}{x^{2}-4}

Passo 1

Você me deu a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\dfrac{x^{3}}{x^{2}-4} e quer que eu determine:
  • o domínio;
  • as interseções com os eixos (interseção com o eixo x e com o eixo y);
  • as assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas (se existirem).
Informações explícitas do enunciado que podemos usar:
  • o numerador é x^{3};
  • o denominador é x^{2}-4, que pode ser fatorado como (x-2)(x+2).
Não vou resolver nada ainda aqui — só organizei o que é pedido e as informações dadas.

Passo 2

Encontrando o domínio: regra e aplicação passo a passo.
Conceito rápido (aula curta): uma função racional \dfrac{p(x)}{q(x)} está definida para todos os x tais que q(x)\neq 0. Isso porque divisão por zero não é permitida.
Aplicando ao problema: o denominador é x^{2}-4. Vamos achar onde ele é zero:
x^{2}-4=0 \iff x^{2}=4 \iff x=\pm 2.
Portanto x=2 e x=-2 tornam o denominador zero, então esses pontos devem ser excluídos do domínio.
Conclusão do domínio: todos os reais exceto -2 e 2, isto é
\text{Domínio}=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}.í

Passo 3

Interseções com os eixos: como proceder e resultado.
Interseção com o eixo x (raízes da função): para isso resolvemos \mathrm{f}(x)=0. Em uma função racional \dfrac{p(x)}{q(x)} a igualdade a zero ocorre quando p(x)=0 e q(x)\neq 0.
No nosso caso p(x)=x^{3}. Então
x^{3}=0 \iff x=0.
Verificamos que x=0 não anula o denominador (pois 0^{2}-4=-4\neq 0), então é um zero válido.
Logo existe interseção com o eixo x em x=0, ou seja o ponto (0,0).
Interseção com o eixo y: é só avaliar \mathrm{f}(0). Já vimos que \mathrm{f}(0)=0. Então a interseção com o eixo y é também (0,0).
Observação simpática: neste caso a função passa pela origem, então o ponto de interseção com os dois eixos é o mesmo.

Passo 4

Assíntotas verticais: teoria e verificação.
Teoria curta: assíntotas verticais ocorrem em pontos a onde o denominador q(x) se anula e o numerador p(x) não se anula ao mesmo tempo (ou quando o comportamento do quociente tende a \pm\infty). Para cada ponto de singularidade isolada, investigamos os limites laterais \lim_{x\to a^\pm} f(x).
Temos já os candidatos x=2 e x=-2 (zeros do denominador). Vamos analisar o comportamento próximo a cada um usando fatoração
\mathrm{f}(x)=\frac{x^{3}}{(x-2)(x+2)}.
Análise em x=2:
  • Próximo de x=2 o numerador x^{3} está próximo de 2^{3}=8 (positivo e não nulo).
  • O fator (x+2) em x\approx 2 é aproximadamente 4 (positivo).
  • O sinal do denominador é dominado pelo fator (x-2), que muda de sinal atravessando 2.
    Logo:
\lim_{x\to 2^{+}}\mathrm{f}(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to 2^{-}}\mathrm{f}(x)=-\infty.
Isso mostra assíntota vertical em x=2.
Análise em x=-2:
  • Próximo de x=-2 o numerador x^{3} está próximo de (-2)^{3}=-8 (negativo e não nulo).
  • O fator (x-2) em x\approx -2 é aproximadamente -4 (negativo).
  • O fator (x+2) muda de sinal ao atravessar -2 e é o que torna o denominador pequeno.
    Portanto, verificando sinais:
\lim_{x\to -2^{+}}\mathrm{f}(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to -2^{-}}\mathrm{f}(x)=-\infty.
Isso indica assíntota vertical em x=-2.
Conclusão: existem assíntotas verticais em x=-2 e x=2.

Passo 5

Assíntotas horizontais ou oblíquas: regra geral e aplicação.
Regra geral (explicada como em aula): para uma função racional \dfrac{p(x)}{q(x)} com \deg p grau do numerador e \deg q grau do denominador:
  • Se \deg p < \deg q então há possivelmente uma assíntota horizontal y=0 ou outra constante.
  • Se \deg p = \deg q então existe uma assíntota horizontal y= razão dos coeficientes líderes.
  • Se \deg p = \deg q + 1 então existe uma assíntota oblíqua (reta) obtida dividindo polinômios (quociente é linear).
  • Se \deg p > \deg q + 1 então não há assíntota linear (pode haver comportamento mais complicado).
No nosso caso \deg p=3 e \deg q=2. Temos \deg p=\deg q+1, logo esperamos uma assíntota oblíqua (reta) do tipo y=mx+b. Para encontrar essa reta fazemos divisão polinomial: dividir x^{3} por x^{2}-4.
Façamos a divisão passo a passo (método longo, bem mastigado):
Dividindo x^{3}+0x^{2}+0x+0 por x^{2}+0x-4:
  • Primeiro termo do quociente: x, porque x\cdot x^{2}=x^{3}.
  • Multiplicamos o divisor por x: x(x^{2}-4)=x^{3}-4x.
  • Subtraímos: (x^{3}+0x^{2}+0x)-(x^{3}+0x^{2}-4x)=4x.
  • Resto final é 4x (grau <2), portanto a divisão termina.
Assim obtemos a identidade algébrica
\mathrm{f}(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}-4}=x+\frac{4x}{x^{2}-4}.
Interpretação: a função é a reta y=x mais uma fração que tende a zero quando |x|\to\infty. Para ver isso formalmente:
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{4x}{x^{2}-4}=0,
porque o denominador cresce como x^{2} enquanto o numerador cresce como x (dividir numerador e denominador por x^{2} mostra isso).
Portanto a assíntota oblíqua é a reta
y=x.
Não existe assíntota horizontal (porque o grau do numerador é maior que o do denominador).

Passo 6

Resumo do comportamento e checagens finais (como revisar rapidamente na prova).
  • Domínio: excluir pontos que anulam o denominador.
  • Interseções: zeros do numerador que não anulam denominador; avaliar em x=0 deu (0,0).
  • Assíntotas verticais: zeros do denominador com análise de limites laterais; aqui x=\pm 2.
  • Assíntota oblíqua: quando grau numerador = grau denominador + 1, dividir polinômios e tomar o quociente como reta; aqui deu y=x.
Se você estiver com preguiça na prova: faça logo a fatoração do denominador, anote os pontos excluídos, divida os polinômios para a oblíqua e calcule as raízes do numerador para os interceptos — essa sequência quase sempre resolve esse tipo de questão.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{-2,2\}
Interseções com os eixos: (0,0) (interseção com x e y)
Assíntotas verticais: x=-2 e x=2
Assíntota oblíqua: y=x

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