Determine o domínio, as interseções com os eixos e encontre as assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas de cada função a seguir, caso existam.
Passo 1
Você me deu a função
e quer que eu determine:
- o domínio;
- as interseções com os eixos (interseção com o eixo
e com o eixo ); - as assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas (se existirem).
Informações explícitas do enunciado que podemos usar:
- o numerador é
; - o denominador é
, que pode ser fatorado como .
Não vou resolver nada ainda aqui — só organizei o que é pedido e as informações dadas.
Passo 2
Encontrando o domínio: regra e aplicação passo a passo.
Conceito rápido (aula curta): uma função racional
está definida para todos os
tais que
. Isso porque divisão por zero não é permitida.
Aplicando ao problema: o denominador é
. Vamos achar onde ele é zero:
Portanto
e
tornam o denominador zero, então esses pontos devem ser excluídos do domínio.
Conclusão do domínio: todos os reais exceto
e
, isto é
Passo 3
Interseções com os eixos: como proceder e resultado.
Interseção com o eixo
(raízes da função): para isso resolvemos
. Em uma função racional
a igualdade a zero ocorre quando
e
.
No nosso caso
. Então
Verificamos que
não anula o denominador (pois
), então é um zero válido.
Logo existe interseção com o eixo
em
, ou seja o ponto
.
Interseção com o eixo
: é só avaliar
. Já vimos que
. Então a interseção com o eixo
é também
.
Observação simpática: neste caso a função passa pela origem, então o ponto de interseção com os dois eixos é o mesmo.
Passo 4
Assíntotas verticais: teoria e verificação.
Teoria curta: assíntotas verticais ocorrem em pontos
onde o denominador
se anula e o numerador
não se anula ao mesmo tempo (ou quando o comportamento do quociente tende a
). Para cada ponto de singularidade isolada, investigamos os limites laterais
.
Temos já os candidatos
e
(zeros do denominador). Vamos analisar o comportamento próximo a cada um usando fatoração
Análise em
:
- Próximo de
o numerador está próximo de (positivo e não nulo). - O fator
em é aproximadamente (positivo). - O sinal do denominador é dominado pelo fator
, que muda de sinal atravessando .
Logo:
Isso mostra assíntota vertical em
.
Análise em
:
- Próximo de
o numerador está próximo de (negativo e não nulo). - O fator
em é aproximadamente (negativo). - O fator
muda de sinal ao atravessar e é o que torna o denominador pequeno.
Portanto, verificando sinais:
Isso indica assíntota vertical em
.
Conclusão: existem assíntotas verticais em
e
.
Passo 5
Assíntotas horizontais ou oblíquas: regra geral e aplicação.
Regra geral (explicada como em aula): para uma função racional
com
grau do numerador e
grau do denominador:
- Se
então há possivelmente uma assíntota horizontal ou outra constante. - Se
então existe uma assíntota horizontal razão dos coeficientes líderes. - Se
então existe uma assíntota oblíqua (reta) obtida dividindo polinômios (quociente é linear). - Se
então não há assíntota linear (pode haver comportamento mais complicado).
No nosso caso
e
. Temos
, logo esperamos uma assíntota oblíqua (reta) do tipo
. Para encontrar essa reta fazemos divisão polinomial: dividir
por
.
Façamos a divisão passo a passo (método longo, bem mastigado):
Dividindo por
:
Dividindo
- Primeiro termo do quociente:
, porque . - Multiplicamos o divisor por
: . - Subtraímos:
. - Resto final é
(grau ), portanto a divisão termina.
Assim obtemos a identidade algébrica
Interpretação: a função é a reta
mais uma fração que tende a zero quando
. Para ver isso formalmente:
porque o denominador cresce como
enquanto o numerador cresce como
(dividir numerador e denominador por
mostra isso).
Portanto a assíntota oblíqua é a reta
Não existe assíntota horizontal (porque o grau do numerador é maior que o do denominador).
Passo 6
Resumo do comportamento e checagens finais (como revisar rapidamente na prova).
- Domínio: excluir pontos que anulam o denominador.
- Interseções: zeros do numerador que não anulam denominador; avaliar em
deu . - Assíntotas verticais: zeros do denominador com análise de limites laterais; aqui
. - Assíntota oblíqua: quando grau numerador = grau denominador + 1, dividir polinômios e tomar o quociente como reta; aqui deu
.
Se você estiver com preguiça na prova: faça logo a fatoração do denominador, anote os pontos excluídos, divida os polinômios para a oblíqua e calcule as raízes do numerador para os interceptos — essa sequência quase sempre resolve esse tipo de questão.
Resposta
Domínio:
Interseções com os eixos: (interseção com
e
)
Assíntotas verticais: e
Assíntota oblíqua:
Interseções com os eixos:
Assíntotas verticais:
Assíntota oblíqua: