Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
y=x^{5}+\frac{3}{\operatorname{sen} x}-\frac{\operatorname{tg} x}{3}+2 \cdot 3^{x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a expressão da derivada da função
y = x^{5} + \frac{3}{\sin x} - \frac{\tan x}{3} + 2\cdot 3^{x}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
\text{(i)}\; x^{5}\quad,\quad \text{(ii)}\; \frac{3}{\sin x}\quad,\quad \text{(iii)}\; -\frac{\tan x}{3}\quad,\quad \text{(iv)}\; 2\cdot 3^{x}.
A tarefa é aplicar regras de derivação (regra da soma, regra do produto por constante, regra da potência, regra da cadeia quando necessário, e derivadas conhecidas de funções trigonométricas e exponenciais) para obter y'.

Passo 2

Derivada do termo x^{5}.
Regra usada (regra da potência): para qualquer n real, a derivada de x^{n} é
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aqui n=5. Aplicando:
\frac{d}{dx}x^{5}=5x^{4}.
Explicação curta: multiplica-se pela potência e diminui-se o expoente em 1.

Passo 3

Derivada do termo \dfrac{3}{\sin x}.
Primeiro reescrevo como 3(\sin x)^{-1}. Vou usar a regra da constante e a regra da cadeia.
Regra da constante: \dfrac{d}{dx}[c\cdot f(x)]=c\cdot f'(x) para constante c.
Regra para potência negativa + cadeia: se u(x)=(\sin x)^{-1} então
\frac{d}{dx}u(x) = -1\cdot (\sin x)^{-2}\cdot \frac{d}{dx}(\sin x).
E \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.
Juntando tudo:
\frac{d}{dx}\left(3(\sin x)^{-1}\right)=3\cdot\left(-(\sin x)^{-2}\cdot\cos x\right)=-3\frac{\cos x}{\sin^{2}x}.
Observação: essa expressão também pode ser escrita como -3\cot x\csc x, mas -3\frac{\cos x}{\sin^{2}x} é suficiente.

Passo 4

Derivada do termo -\dfrac{\tan x}{3}.
Regra da constante: fator -\dfrac{1}{3} é constante e sai da derivada. Precisamos da derivada de \tan x.
Derivada conhecida: \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x.
Portanto:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{\tan x}{3}\right)=-\frac{1}{3}\cdot\operatorname{sec}^{2}x=-\frac{1}{3}\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 5

Derivada do termo 2\cdot 3^{x}.
Regra da constante: 2 é constante multiplicativa. Regra da exponencial com base a ( a>0 ): para a^{x},
\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a,
onde \ln a é o logaritmo natural da base a.
Aplicando com a=3:
\frac{d}{dx}\left(2\cdot 3^{x}\right)=2\cdot 3^{x}\ln 3.

Passo 6

Agora uso a linearidade da derivada (a derivada da soma é a soma das derivadas) e junto os resultados de cada termo obtidos nos passos anteriores.
Somando:
y' = 5x^{4} \;+\; \left(-3\frac{\cos x}{\sin^{2}x}\right) \;+\; \left(-\frac{1}{3}\operatorname{sec}^{2}x\right) \;+\; 2\cdot 3^{x}\ln 3.
Posso reescrever de forma limpa:
y' = 5x^{4} - 3\frac{\cos x}{\sin^{2}x} - \frac{1}{3}\operatorname{sec}^{2}x + 2\cdot 3^{x}\ln 3.

Resposta

y' = 5x^{4} - 3\frac{\cos x}{\sin^{2}x} - \frac{1}{3}\operatorname{sec}^{2}x + 2\cdot 3^{x}\ln 3

Exercícios relacionados