Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a expressão da derivada da função
Informações relevantes dadas no enunciado:
A tarefa é aplicar regras de derivação (regra da soma, regra do produto por constante, regra da potência, regra da cadeia quando necessário, e derivadas conhecidas de funções trigonométricas e exponenciais) para obter
.
Passo 2
Derivada do termo
.
Regra usada (regra da potência): para qualquer
real, a derivada de
é
Aqui
. Aplicando:
Explicação curta: multiplica-se pela potência e diminui-se o expoente em 1.
Passo 3
Derivada do termo
.
Primeiro reescrevo como
. Vou usar a regra da constante e a regra da cadeia.
Regra da constante:
para constante
.
Regra para potência negativa + cadeia: se
então
E
.
Juntando tudo:
Observação: essa expressão também pode ser escrita como
, mas
é suficiente.
Passo 4
Derivada do termo
.
Regra da constante: fator
é constante e sai da derivada. Precisamos da derivada de
.
Derivada conhecida:
.
Portanto:
Passo 5
Derivada do termo
.
Regra da constante:
é constante multiplicativa. Regra da exponencial com base
(
): para
,
onde
é o logaritmo natural da base
.
Aplicando com
:
Passo 6
Agora uso a linearidade da derivada (a derivada da soma é a soma das derivadas) e junto os resultados de cada termo obtidos nos passos anteriores.
Somando:
Posso reescrever de forma limpa: