Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações relevantes que temos:
- A função é soma de três termos:
, e . - Os coeficientes
e são constantes (não dependem de ). - Precisamos encontrar
, a derivada de em função de . - Não estamos pedindo valor numérico em ponto específico, apenas a expressão da derivada.
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a parte racional numa forma que facilite a derivação. Usamos a propriedade de potências inversas:
Assim a função fica escrita como
Passo 3
Vamos lembrar e explicar as regras de derivação que vamos usar:
- Regra da soma e da linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas.
- Regra do fator constante: se
é constante e é função de , então Aqui é um número que não depende de . - Regra da potência (power rule) para expoente qualquer real
: Exemplo simples: ; se tivéssemos , então . - Derivada da função cosseno:
Note que o sinal negativo aparece aqui. - Derivada de constante: se
é constante, então
Vou aplicar essas regras termo a termo. Se algo aqui parece novo, releia a fórmula correspondente; elas são as ferramentas básicas.
Passo 4
Derivada do primeiro termo
. Aplicamos a regra do fator constante junto com a regra da potência:
- Primeiro, a derivada de
é (pela regra da potência com ). - Multiplicando pelo fator constante
, obtemos
Em forma de fração, isso é
.
Passo 5
Derivada do segundo termo
. Aqui usamos a regra do fator constante e a derivada do cosseno:
- A derivada de
é . - Multiplicando pelo fator
, temos
Repare que os dois sinais negativos se cancelam, por isso o resultado é positivo.
Passo 6
Derivada do terceiro termo, que é a constante
. Pela regra da derivada de constante,
Passo 7
Agora usamos a linearidade (soma das derivadas): a derivada de
é a soma das derivadas de cada termo. Somando os resultados dos passos anteriores obtemos
Podemos omitir o
e escrever de forma equivalente usando fração para a parte racional.