Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
y=\frac{5}{x^{2}}-\sqrt{3} \cos x+\sqrt{3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
y=\frac{5}{x^{2}}-\sqrt{3}\cos x+\sqrt{3}.
Informações relevantes que temos:
  • A função é soma de três termos: \frac{5}{x^{2}}, -\sqrt{3}\cos x e \sqrt{3}.
  • Os coeficientes 5 e \sqrt{3} são constantes (não dependem de x).
  • Precisamos encontrar y', a derivada de y em função de x.
  • Não estamos pedindo valor numérico em ponto específico, apenas a expressão da derivada.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a parte racional numa forma que facilite a derivação. Usamos a propriedade de potências inversas:
\frac{5}{x^{2}} = 5x^{-2}.
Assim a função fica escrita como
y = 5x^{-2} - \sqrt{3}\cos x + \sqrt{3}.

Passo 3

Vamos lembrar e explicar as regras de derivação que vamos usar:
  • Regra da soma e da linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas. \frac{d}{dx}\big(f(x)+g(x)\big)=f'(x)+g'(x).
  • Regra do fator constante: se c é constante e f é função de x, então \frac{d}{dx}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot f'(x).Aqui c é um número que não depende de x.
  • Regra da potência (power rule) para expoente qualquer real n: \frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.Exemplo simples: \frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}; se tivéssemos x^{-2}, então \frac{d}{dx}x^{-2}=-2x^{-3}.
  • Derivada da função cosseno: \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x.Note que o sinal negativo aparece aqui.
  • Derivada de constante: se C é constante, então \frac{d}{dx}C=0.
Vou aplicar essas regras termo a termo. Se algo aqui parece novo, releia a fórmula correspondente; elas são as ferramentas básicas.

Passo 4

Derivada do primeiro termo 5x^{-2}. Aplicamos a regra do fator constante junto com a regra da potência:
  • Primeiro, a derivada de x^{-2} é -2x^{-3} (pela regra da potência com n=-2).
  • Multiplicando pelo fator constante 5, obtemos
\frac{d}{dx}\big(5x^{-2}\big) = 5\cdot(-2)x^{-3} = -10x^{-3}.
Em forma de fração, isso é -\dfrac{10}{x^{3}}.

Passo 5

Derivada do segundo termo -\sqrt{3}\cos x. Aqui usamos a regra do fator constante e a derivada do cosseno:
  • A derivada de \cos x é -\sin x.
  • Multiplicando pelo fator -\sqrt{3}, temos
\frac{d}{dx}\big(-\sqrt{3}\cos x\big) = -\sqrt{3}\cdot(-\sin x) = \sqrt{3}\sin x.
Repare que os dois sinais negativos se cancelam, por isso o resultado é positivo.

Passo 6

Derivada do terceiro termo, que é a constante \sqrt{3}. Pela regra da derivada de constante,
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{3}\big)=0.

Passo 7

Agora usamos a linearidade (soma das derivadas): a derivada de y é a soma das derivadas de cada termo. Somando os resultados dos passos anteriores obtemos
y' = -10x^{-3} + \sqrt{3}\sin x + 0.
Podemos omitir o +0 e escrever de forma equivalente usando fração para a parte racional.

Resposta

y'=-\dfrac{10}{x^{3}}+\sqrt{3}\sin x

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