Determine o domínio, intervalos de monotonia e extremos locais das funções:
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo é cálculo de integrais definidas: vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para achar uma antiderivada de
e depois derivar
para analisar monotonia e extremos.
Passo 2
Para achar o domínio de
, observamos que o integrando
só está definido para
. Como o integral vai de 1 até
, precisamos que
. Assim, o domínio de
é
.
Passo 3
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, achamos uma antiderivada de
. Sabemos que
. Logo,
Passo 4
Para ver monotonia, derivamos
:
Passo 5
Como
em
,
é decrescente nesse intervalo, e como
em
,
é crescente aí. O ponto crítico é
, pois
. Além disso,
para todo
, então em
há um mínimo local. O valor é
. Não há máximos locais.
Resposta
Domínio:
. Monotonia:
decrescente em
e crescente em
. Extremo local: mínimo em
com
.