Determine o domínio, intervalos de monotonia e extremos locais das funções: G(x)=integral1^x ln t d t

Passo 1

Temos a função G(x)=integral1^xln t,dt. O conteúdo é cálculo de integrais definidas: vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para achar uma antiderivada de ln t e depois derivar G para analisar monotonia e extremos.

Passo 2

Para achar o domínio de G, observamos que o integrando ln t só está definido para t>0. Como o integral vai de 1 até x, precisamos que x>0. Assim, o domínio de G é (0,infty).

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, achamos uma antiderivada de ln t. Sabemos que integralln t,dt = tln t - t + C. Logo,
G(x)=integral1^xln t,dt = l[tln t - tr]1^x = xln x - x - (1cdotln1 - 1) = xln x - x + 1

Passo 4

Para ver monotonia, derivamos G:
G'(x)=ln x

Passo 5

Como ln x<0 em (0,1), G é decrescente nesse intervalo, e como ln x>0 em (1,infty), G é crescente aí. O ponto crítico é x=1, pois G'(1)=ln1=0. Além disso, G''(x)=1/x>0 para todo x>0, então em x=1 há um mínimo local. O valor é G(1)=1cdotln1 -1 +1 = 0. Não há máximos locais.

Resposta

Domínio: (0,infty). Monotonia: G decrescente em (0,1) e crescente em (1,infty). Extremo local: mínimo em x=1 com G(1)=0.

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