Utilize a substituição cos x=t para calcular o integral integralpi / 6^pi / 3 sen xcos x(cos x-1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral integralpi/6^pi/3sin xcos x (cos x -1),dx usando a substituição cos x = t. O conteúdo aqui é integração por substituição e frações parciais, e vamos precisar trocar a variável de x para t e depois decompor em frações parciais.

Passo 2

Fazendo a substituição cos x = t, temos dt = -sin x,dx, ou seja sin x,dx = -dt. Quando x=pi/6, t=cos(pi/6)=tfracraiz32; e quando x=pi/3, t=cos(pi/3)=tfrac12.
O integral em termos de t fica
integralpi/6^pi/3sin xcos x (cos x-1),dx = integralraiz3/2^1/2 -dtt(t-1) = integral1/2^raiz3/2 dtt(t-1)

Passo 3

Agora decompondo em frações parciais:
1t(t-1) = At + Bt-1,
com 1 = A(t-1)+Bt. Ajustando coeficientes dá A=-1 e B=1. Logo
1t(t-1) = -1t + 1t-1

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral1/2^raiz3/2l(-1t + 1t-1r)dt = l[-ln|t| + ln|t-1|r]1/2^raiz3/2

Passo 5

Aplicando os limites: quando t=raiz3/2 o argumento do log é raiz3/2-1raiz3/2=raiz3-2raiz3, e quando t=1/2 1/2-11/2=-1. Como ln|-1|=0, sobra
ln!l|raiz3-2raiz3r| = ln!l(2-raiz3raiz3r)

Resposta

ln!l(2-raiz3raiz3r)

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