Saturação de Atuador: Um motor tem sua velocidade limitada. Esboce o gráfico da função de saturação:
v(u)= \begin{cases}-10, & \text { se } u<-10 \\\ u, & \text { se }-10 \leq u \leq 10 \\\\ 10, & \text { se } u>10\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
v(u)= \begin{cases}-10, & \text{se } u<-10 \\\ u, & \text{se } -10 \le u \le 10 \\\\ 10, & \text{se } u>10\end{cases}
e pede para esboçar o gráfico. Informações relevantes que temos:
  • Há três regiões em u: u<-10, -10\le u\le 10 e u>10.
  • Nos limites de saturação, os valores de saída são v=-10 (parte esquerda) e v=10 (parte direita).
  • No intervalo central, a saída segue exatamente a entrada: v(u)=u.
    O que se pede: desenhar (esboçar) o gráfico v em função de u.

Passo 2

Defina os eixos e marque pontos de referência (pré‑desenho).
  • Eixo horizontal: u (entrada do atuador).
  • Eixo vertical: v (velocidade limitada).
  • Marque no eixo u as posições -10 e 10.
  • Marque no eixo v as alturas v=-10 e v=10.
    Esses quatro valores serão as guias para o esboço. É assim que se começa um desenho organizado.

Passo 3

Região esquerda: u<-10.
  • A fórmula diz v(u)=-10 para todo u<-10. Isso é uma reta horizontal.
  • No gráfico, para qualquer u à esquerda de -10 desenhe a linha horizontal em v=-10.
  • Exemplo numérico: se u=-15 então v(-15)=-10.
  • Coloque uma linha horizontal estendendo-se à esquerda a partir do ponto (-10,-10).

Passo 4

Região central: -10\le u\le 10.
  • Aqui v(u)=u. Isso é a reta identidade de inclinação 1, que passa pela origem.
  • No intervalo desenhe a reta que liga o ponto (-10,-10) ao ponto (10,10).
  • Avaliações de referência: v(-10)=-10, v(0)=0, v(10)=10.
  • Marque os pontos (-10,-10) e (10,10) e una-os com uma linha reta com inclinação 1.

Passo 5

Região direita: u>10.
  • A fórmula diz v(u)=10 para todo u>10. Novamente uma reta horizontal.
  • No gráfico, para qualquer u à direita de 10 desenhe a linha horizontal em v=10.
  • Exemplo numérico: se u=15 então v(15)=10.
  • Coloque uma linha horizontal estendendo-se à direita a partir do ponto (10,10).

Passo 6

Comportamento nos pontos de junção e continuidade.
  • Nos pontos de transição temos v(-10)=-10 tanto pelo ramo esquerdo quanto pelo ramo central, e v(10)=10 tanto pelo ramo central quanto pelo direito. Logo a função é contínua nesses pontos.
  • No desenho, os pontos (-10,-10) e (10,10) devem ser marcados com pontos cheios (inclusos).
  • A função tem “cantos” (kinks) nesses pontos: a derivada muda abruptamente (de 0 para 1 em -10, e de 1 para 0 em 10).

Passo 7

Forma compacta e interpretação prática (dica útil para prova).
  • Uma forma equivalente e compacta é
v(u)=\max\bigl(-10,\min(u,10)\bigr).
  • Interpretação: primeiro limita u acima por 10 (faz \min(u,10)), depois limita abaixo por -10 (faz \max(-10,\cdot)). Isso é o comportamento típico de saturação de atuadores: valores além dos limites são “recortados” para os limites.

Passo 8

Instruções passo a passo para esboçar rapidamente (pra prova, sem cálculo):
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares e marque -10 e 10 em u e v.
  2. Desenhe uma linha horizontal em v=-10 para u<-10.
  3. Desenhe a reta v=u entre -10 e 10.
  4. Desenhe uma linha horizontal em v=10 para u>10.
  5. Coloque pontos sólidos em (-10,-10) e (10,10).
    Pronto — esse é o esboço típico de uma função de saturação.

Resposta

Gráfico composto por: reta horizontal v(u)=-10 para u<-10; reta v(u)=u de (-10,-10) até (10,10); reta horizontal v(u)=10 para u>10. Pontos (-10,-10) e (10,10) incluídos.

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