Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)=4 \cdot 3^{-x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função f dada:
  • Determinar o domínio máximo de f.
  • Esboçar o gráfico de f.
A função fornecida é
f(x)=4\cdot 3^{-x}.

Passo 2

O que significa “domínio máximo”? Significa o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define f(x) faz sentido (está bem definida). Vamos verificar a expressão 4\cdot 3^{-x}.
Explicação didática rápida sobre exponenciais: para um número real a>0 e um expoente real x, a potência a^{x} está definida para todo x\in\mathbb{R}. Aqui a base é 3, que é positiva, e o expoente é -x, que também é um número real para qualquer x. Multiplicar por 4 não restringe nada.
Portanto a expressão está bem definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Conclusão do domínio com justificativa final: como não há divisões por zero, raízes de índice par de números negativos, logaritmos ou outras operações que restrinjam os x, e como potências 3^{-x} existem para todo real x, o domínio máximo é
(-\infty,\infty).

Passo 4

Para esboçar o gráfico, é útil reescrever a função de maneiras equivalentes que nos mostrem comportamento e monotonia. Observação útil:
3^{-x}=(3^{-1})^{x}=\left(\frac{1}{3}\right)^{x},
logo
f(x)=4\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{x}.
Outra escrita é usando exponencial natural:
f(x)=4\mathrm{e}^{-x\ln 3}.
Essas formas já mostram que é uma função exponencial com base \dfrac{1}{3}, ou seja, base entre 0 e 1. Funções exponenciais com base 0<b<1 são estritamente decrescentes.

Passo 5

Determinar comportamento aos extremos e assíntota horizontal:
Calcule os limites:
\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}4\cdot 3^{-x}=4\cdot 0=0,
\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}4\cdot 3^{-x}=4\cdot\infty=+\infty.
Isso mostra que há uma assíntota horizontal em y=0 à direita (a curva aproxima-se de y=0 quando x\to\infty) e a função cresce sem limite quando x\to -\infty.

Passo 6

Determinar o sinal e a imagem (range):
Como 3^{-x}>0 para todo x, multiplica-se por 4>0, portanto f(x)>0 para todo x. Assim a imagem é
(0,\infty).

Passo 7

Monotonicidade (por derivada, para ficar seguro na prova):
Derivando f (lembrando que a derivada de a^{u} é a^{u}\ln a\cdot u'):
f'(x)=4\cdot 3^{-x}\cdot\ln 3\cdot(-1)=-4\ln(3)\,3^{-x}.
Como \ln(3)>0 e 3^{-x}>0, temos f'(x)<0 para todo x. Logo f é estritamente decrescente em toda a reta.

Passo 8

Pontos úteis para o esboço (calculei alguns valores para você poder plotar rapidamente no caderno):
f(0)=4\cdot 3^{0}=4,
f(1)=4\cdot 3^{-1}=\frac{4}{3}\approx 1{,}333,
f(2)=4\cdot 3^{-2}=\frac{4}{9}\approx 0{,}444,
f(-1)=4\cdot 3^{1}=12,
f(-2)=4\cdot 3^{2}=36.
É suficiente para esboçar: na abscissa x=0 a curva passa por (0,4); para x positivos decai rapidamente em direção a y=0; para x negativos sobe para valores grandes.

Passo 9

Como desenhar passo a passo (na prova, sem régua complicada):
  • desenhe eixos x e y;
  • trace a linha pontilhada horizontal y=0 como assíntota;
  • marque o ponto (0,4);
  • marque mais dois pontos, por exemplo (1,\tfrac{4}{3}) e (-1,12);
  • ligue os pontos com uma curva suave, sempre descendo quando x aumenta, aproximando-se de y=0 à direita e subindo sem limite à esquerda.

Resposta

Domínio máximo: (-\infty,\infty)
Esboço do gráfico: curva exponencial estritamente decrescente com assíntota horizontal y=0, intercepto em (0,4); \lim_{x\to\infty}f(x)=0 e \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.

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