Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
dada:
- Determinar o domínio máximo de
. - Esboçar o gráfico de
.
A função fornecida é
Passo 2
O que significa “domínio máximo”? Significa o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão que define
faz sentido (está bem definida). Vamos verificar a expressão
.
Explicação didática rápida sobre exponenciais: para um número real
e um expoente real
, a potência
está definida para todo
. Aqui a base é
, que é positiva, e o expoente é
, que também é um número real para qualquer
. Multiplicar por
não restringe nada.
Portanto a expressão está bem definida para todo
.
Passo 3
Conclusão do domínio com justificativa final: como não há divisões por zero, raízes de índice par de números negativos, logaritmos ou outras operações que restrinjam os
, e como potências
existem para todo real
, o domínio máximo é
Passo 4
Para esboçar o gráfico, é útil reescrever a função de maneiras equivalentes que nos mostrem comportamento e monotonia. Observação útil:
logo
Outra escrita é usando exponencial natural:
Essas formas já mostram que é uma função exponencial com base
, ou seja, base entre
e
. Funções exponenciais com base
são estritamente decrescentes.
Passo 5
Determinar comportamento aos extremos e assíntota horizontal:
Calcule os limites:
Isso mostra que há uma assíntota horizontal em
à direita (a curva aproxima-se de
quando
) e a função cresce sem limite quando
.
Passo 6
Determinar o sinal e a imagem (range):
Como
para todo
, multiplica-se por
, portanto
para todo
. Assim a imagem é
Passo 7
Monotonicidade (por derivada, para ficar seguro na prova):
Derivando
(lembrando que a derivada de
é
):
Como
e
, temos
para todo
. Logo
é estritamente decrescente em toda a reta.
Passo 8
Pontos úteis para o esboço (calculei alguns valores para você poder plotar rapidamente no caderno):
É suficiente para esboçar: na abscissa
a curva passa por
; para
positivos decai rapidamente em direção a
; para
negativos sobe para valores grandes.
Passo 9
Como desenhar passo a passo (na prova, sem régua complicada):
- desenhe eixos
e ; - trace a linha pontilhada horizontal
como assíntota; - marque o ponto
; - marque mais dois pontos, por exemplo
e ; - ligue os pontos com uma curva suave, sempre descendo quando
aumenta, aproximando-se de à direita e subindo sem limite à esquerda.
Resposta
Domínio máximo:
Esboço do gráfico: curva exponencial estritamente decrescente com assíntota horizontal , intercepto em
;
e
.
Esboço do gráfico: curva exponencial estritamente decrescente com assíntota horizontal