Exercício 1. Resolva as equações abaixo para
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
, a equação
Informações dadas:
- A incógnita é
e procuramos todas as soluções reais. - Aparecem potências do número
: e .
Passo 2
Entender as potências de
. Lembrete rápido e útil:
- Por definição
.
Isso significa que a expressão do lado direito pode ser reescrita usando:
Passo 3
Reescrever a equação usando a identidade do passo anterior. Substituindo o lado direito:
Agora vemos que
aparece em ambos os lados da equação.
Passo 4
Eliminar o fator
. Observação importante:
(e portanto
) nunca é zero para qualquer
, então podemos multiplicar ambos os lados por
(ou dividir por
) sem perder soluções. Multiplicando por
obtemos:
Passo 5
Organizar a equação quadrática para resolver:
Este é um polinômio quadrático padrão. Para resolver podemos tentar fatorar: procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Assim:
Passo 6
Usar a fatoração para encontrar as raízes. Se
, então pelo princípio do produto nulo:
logo
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): substituir na equação original.
- Para
: esquerda , direita . Bate. - Para
: esquerda , direita . Bate.
Ambas as soluções satisfazem a equação original.