Exercício 1. Resolva as equações abaixo para x \in \mathbb{R} :
\left(x^{2}+4\right) e^{-x}=\frac{5 x}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a equação
\left(x^{2}+4\right) e^{-x}=\frac{5 x}{e^{x}}.
Informações dadas:
  • A incógnita é x e procuramos todas as soluções reais.
  • Aparecem potências do número e: e^{-x} e e^{x}.

Passo 2

Entender as potências de e. Lembrete rápido e útil:
  • Por definição e^{-x}=\dfrac{1}{e^{x}}.
    Isso significa que a expressão do lado direito pode ser reescrita usando e^{-x}:
\frac{5x}{e^{x}} = 5x\cdot e^{-x}.

Passo 3

Reescrever a equação usando a identidade do passo anterior. Substituindo o lado direito:
\left(x^{2}+4\right)e^{-x}=5x\,e^{-x}.
Agora vemos que e^{-x} aparece em ambos os lados da equação.

Passo 4

Eliminar o fator e^{-x}. Observação importante: e^{x} (e portanto e^{-x}) nunca é zero para qualquer x\in\mathbb{R}, então podemos multiplicar ambos os lados por e^{x} (ou dividir por e^{-x}) sem perder soluções. Multiplicando por e^{x} obtemos:
x^{2}+4 = 5x.

Passo 5

Organizar a equação quadrática para resolver:
x^{2} - 5x + 4 = 0.
Este é um polinômio quadrático padrão. Para resolver podemos tentar fatorar: procuramos dois números que multiplicados dão 4 e somados dão -5. Esses números são -1 e -4. Assim:
x^{2}-5x+4=(x-1)(x-4).

Passo 6

Usar a fatoração para encontrar as raízes. Se (x-1)(x-4)=0, então pelo princípio do produto nulo:
x-1=0 \quad\text{ou}\quad x-4=0,
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x=1 \quad\text{ou}\quad x=4.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): substituir na equação original.
  • Para x=1: esquerda \,(1^{2}+4)e^{-1}=5e^{-1}, direita \dfrac{5\cdot1}{e^{1}}=5e^{-1}. Bate.
  • Para x=4: esquerda \,(4^{2}+4)e^{-4}=20e^{-4}, direita \dfrac{5\cdot4}{e^{4}}=20e^{-4}. Bate.
    Ambas as soluções satisfazem a equação original.

Resposta

x=1
x=4

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