Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)=-2 \cdot 5^{x}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=-2\cdot5^{x} e pede duas coisas: (1) determinar o domínio máximo de f; (2) esboçar (descrever) o gráfico da função. Informações relevantes que já estão no enunciado:
  • A função é uma exponencial multiplicada por um fator constante -2.
  • A base da exponencial é 5 (maior que 0 e diferente de 1).

Passo 2

Entendendo domínio de funções exponenciais (aula rápida):
  • A expressão 5^{x} está definida para todo x\in\mathbb{R}. Em geral, a^{x} com a>0 é definida para todos os reais x.
  • Multiplicar por uma constante (aqui -2) não cria restrição adicional.
    Portanto o domínio máximo é todo o conjunto dos reais:
\text{Domínio}=\mathbb{R}.í

Passo 3

Determinar a imagem (intervalo de valores) — por que isso importa para o esboço:
  • Para qualquer x tem-se 5^{x}>0.
  • Logo -2\cdot5^{x}<0 para todo x.
    Isto mostra que a função nunca atinge valores não-negativos; a imagem é todo o intervalo de números negativos:
\text{Imagem}=( -\infty,\,0 ).

Passo 4

Comportamento limite e assíntota horizontal (importante para o desenho):
  • Quando x\to -\infty temos 5^{x}\to 0^{+}, logo
\lim_{x\to -\infty} f(x)=\lim_{x\to -\infty} -2\cdot5^{x}=0^{-}.
Isto significa que a reta y=0 é uma assíntota horizontal, e a função se aproxima de 0 por baixo (valores negativos).
  • Quando x\to +\infty, 5^{x}\to +\infty, então
\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty.

Passo 5

Pontos notáveis e interceptos (úteis para posicionar o gráfico):
  • Valor em x=0:
f(0)=-2\cdot5^{0}=-2\cdot1=-2.
Portanto o gráfico passa pelo ponto (0,-2).
  • Alguns pontos fáceis para esboçar:
f(-1)=-2\cdot5^{-1}=-2\cdot\tfrac{1}{5}=-\tfrac{2}{5}\quad(\text{aprox. }-0,4),
f(1)=-2\cdot5^{1}=-10.
  • Não há raiz real: f(x)=0 não tem solução porque f(x)<0 sempre.

Passo 6

Monotonicidade e sinal (ajuda a entender a forma do gráfico):
  • Observação rápida: 5^{x} é crescente em x. Multiplicar por -2 inverte o sentido, logo f é estritamente decrescente.
  • Cálculo do derivado (opcional, para confirmar):
f'(x)=-2\cdot5^{x}\ln 5,
como 5^{x}>0 e \ln 5>0, temos f'(x)<0 para todo x, confirmando que f é estritamente decrescente.

Passo 7

Descrição final do esboço (como desenhar rapidamente na prova):
  • Trace o eixo x e y.
  • Marque a assíntota horizontal y=0 (linha pontilhada, o gráfico se aproxima dela por baixo quando x\to -\infty).
  • Marque o ponto (0,-2), e os pontos (-1,-\tfrac{2}{5}) e (1,-10).
  • Desenhe uma curva que passa por esses pontos, sempre abaixo do eixo x, decrescendo da esquerda para a direita: à esquerda a curva fica muito próxima de y=0 (mas negativa), à direita desce rapidamente para -\infty.
  • Não há cruzamento com o eixo x.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (-\infty,\,0)
Gráfico: curva exponencial decrescente, assíntota horizontal y=0, passa por (0,-2), por exemplo f(-1)=-\tfrac{2}{5} e f(1)=-10.

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