Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (1) determinar o domínio máximo de
; (2) esboçar (descrever) o gráfico da função. Informações relevantes que já estão no enunciado:
- A função é uma exponencial multiplicada por um fator constante
. - A base da exponencial é
(maior que e diferente de ).
Passo 2
Entendendo domínio de funções exponenciais (aula rápida):
- A expressão
está definida para todo . Em geral, com é definida para todos os reais . - Multiplicar por uma constante (aqui
) não cria restrição adicional.
Portanto o domínio máximo é todo o conjunto dos reais:
Passo 3
Determinar a imagem (intervalo de valores) — por que isso importa para o esboço:
- Para qualquer
tem-se . - Logo
para todo .
Isto mostra que a função nunca atinge valores não-negativos; a imagem é todo o intervalo de números negativos:
Passo 4
Comportamento limite e assíntota horizontal (importante para o desenho):
- Quando
temos , logo
Isto significa que a reta
é uma assíntota horizontal, e a função se aproxima de
por baixo (valores negativos).
- Quando
, , então
Passo 5
Pontos notáveis e interceptos (úteis para posicionar o gráfico):
- Valor em
:
Portanto o gráfico passa pelo ponto
.
- Alguns pontos fáceis para esboçar:
- Não há raiz real:
não tem solução porque sempre.
Passo 6
Monotonicidade e sinal (ajuda a entender a forma do gráfico):
- Observação rápida:
é crescente em . Multiplicar por inverte o sentido, logo é estritamente decrescente. - Cálculo do derivado (opcional, para confirmar):
como
e
, temos
para todo
, confirmando que
é estritamente decrescente.
Passo 7
Descrição final do esboço (como desenhar rapidamente na prova):
- Trace o eixo
e . - Marque a assíntota horizontal
(linha pontilhada, o gráfico se aproxima dela por baixo quando ). - Marque o ponto
, e os pontos e . - Desenhe uma curva que passa por esses pontos, sempre abaixo do eixo
, decrescendo da esquerda para a direita: à esquerda a curva fica muito próxima de (mas negativa), à direita desce rapidamente para . - Não há cruzamento com o eixo
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: curva exponencial decrescente, assíntota horizontal , passa por
, por exemplo
e
.
Imagem:
Gráfico: curva exponencial decrescente, assíntota horizontal