Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x+3}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x+3}:
  • Determinar o domínio máximo da função.
  • Esboçar o gráfico da função (ou, se preferir, descrever claramente como é o gráfico e pontos-chave para desenhá-lo).
Informações dadas explícitas:
  • A função é f(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x+3}.
  • A base da potência é \tfrac{1}{2} (um número positivo e menor que 1).
  • O expoente é a expressão linear x+3.

Passo 2

Entendimento básico sobre funções exponenciais (mini-aula):
  • Uma função da forma g(x)=a^{h(x)}, onde a>0 e h(x) é qualquer expressão real, está definida sempre que h(x) for um número real.
  • Aqui a=\tfrac{1}{2}>0 e h(x)=x+3.
  • A expressão x+3 é um polinômio linear e está definida para todo x\in\mathbb{R}.
    Logo, não há restrição que impeça a avaliação da potência para qualquer x real.

Passo 3

Conclusão sobre o domínio (com justificativa passo a passo):
  • Como para qualquer x\in\mathbb{R} a expressão x+3 é um número real, \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x+3} está bem definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Portanto o domínio máximo é o conjunto de todos os reais:
\text{Domínio} = \mathbb{R}.í

Passo 4

Reescritas úteis da função (transformações que ajudam a esboçar o gráfico):
  • Podemos separar a potência:
f(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x+3}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^x\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\left(\tfrac{1}{2}\right)^x.
  • Também podemos escrever em base 2:
f(x)=2^{-x-3}=2^{-3}\cdot 2^{-x}=\frac{1}{8}\,2^{-x}.
Essas formas mostram que o gráfico é o de \left(\tfrac{1}{2}\right)^x multiplicado por \tfrac{1}{8} (uma compressão vertical), ou, igualmente, um deslocamento em escala da função 2^{-x}.

Passo 5

Sinal, positividade e assíntota (mini-aula sobre comportamento):
  • Qualquer potência de base positiva é positiva: para todo x\in\mathbb{R},
f(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x+3}>0.
  • Portanto a função nunca atinge 0 nem fica negativa; a imagem (contraparte do domínio) é (0,\infty).
  • Como x\to+\infty tem-se x+3\to+\infty e \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x+3}\to 0^+. Assim há uma assíntota horizontal em
y=0.
  • Como x\to-\infty tem-se x+3\to-\infty e \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x+3}\to +\infty.

Passo 6

Monotonicidade (como saber se cresce ou decresce):
  • Regra: para a>0, a função a^x cresce se a>1 e decresce se 0<a<1.
  • Aqui a=\tfrac{1}{2}\in(0,1), logo \left(\tfrac{1}{2}\right)^x é estritamente decrescente. Multiplicar por \tfrac{1}{8}>0 não muda o tipo (ainda decrescente).
  • Alternativamente, usando derivada (apenas para justificar rapidamente): a derivada é
f'(x)=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x+3}.
Como \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2<0 e \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x+3}>0, segue f'(x)<0 para todo x. Logo f é estritamente decrescente em \mathbb{R}.

Passo 7

Pontos-chave para desenhar (tabela de valores fáceis — todos números em TeX):
  • Calcular alguns pontos simples substituindo x:
\begin{array}{lcl} x=-5 &\Rightarrow& f(-5)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{-2}=2^2=4,\\[4pt] x=-4 &\Rightarrow& f(-4)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{-1}=2,\\[4pt] x=-3 &\Rightarrow& f(-3)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{0}=1,\\[4pt] x=-2 &\Rightarrow& f(-2)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1}=\tfrac{1}{2},\\[4pt] x=0 &\Rightarrow& f(0)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}=\tfrac{1}{8},\\[4pt] x=1 &\Rightarrow& f(1)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}=\tfrac{1}{16}. \end{array}
  • Observe que f(-3)=1. Esse é um ponto de referência importante (a chamada "interseção com a reta y=1").
  • Não há interseção com o eixo x (nunca atinge y=0), e y=0 é a assíntota horizontal.]

Passo 8

Como esboçar passo a passo (instruções para fazer na prova com régua e lápis):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque a linha horizontal y=0 (assíntota).
  2. Marque o ponto (-3,1).
  3. Marque outros pontos da tabela, por exemplo (-4,2), (-5,4) à esquerda e (0,\tfrac{1}{8}), (1,\tfrac{1}{16}) à direita.
  4. Ligue suavemente os pontos com uma curva decrescente que sobe muito à esquerda (tende a +\infty) e se aproxima de y=0 à direita (sem tocar).
  5. Coloque uma seta no sentido do aumento de x indicando que a curva segue decrescendo para a direita.
Dica prática: a forma f(x)=\tfrac{1}{8}\left(\tfrac{1}{2}\right)^x deixa claro que o gráfico é o de \left(\tfrac{1}{2}\right)^x comprimido verticalmente por fator \tfrac{1}{8}. Isso ajuda a posicionar rapidamente o ponto em x=0: f(0)=\tfrac{1}{8}.

Passo 9

Resumo final das propriedades que o esboço deve mostrar:
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Imagem (contradomínio efetivo): (0,\infty).
  • Monotonicidade: estritamente decrescente.
  • Assíntota horizontal: y=0.
  • Pontos de referência: (-3,1), (-4,2), (-5,4), (0,\tfrac{1}{8}).

Resposta

Domínio máximo: \mathbb{R}
Esboço do gráfico: função exponencial decrescente com assíntota horizontal y=0, passa por (-3,1) e pelos pontos (-4,2), (-5,4), (0,\tfrac{1}{8}); cresce sem limite à esquerda e tende a 0^+ à direita.

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