Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
:
- Determinar o domínio máximo da função.
- Esboçar o gráfico da função (ou, se preferir, descrever claramente como é o gráfico e pontos-chave para desenhá-lo).
Informações dadas explícitas:
- A função é
. - A base da potência é
(um número positivo e menor que ). - O expoente é a expressão linear
.
Passo 2
Entendimento básico sobre funções exponenciais (mini-aula):
- Uma função da forma
, onde e é qualquer expressão real, está definida sempre que for um número real. - Aqui
e . - A expressão
é um polinômio linear e está definida para todo .
Logo, não há restrição que impeça a avaliação da potência para qualquerreal.
Passo 3
Conclusão sobre o domínio (com justificativa passo a passo):
- Como para qualquer
a expressão é um número real, está bem definida para todo . - Portanto o domínio máximo é o conjunto de todos os reais:
Passo 4
Reescritas úteis da função (transformações que ajudam a esboçar o gráfico):
- Podemos separar a potência:
- Também podemos escrever em base
:
Essas formas mostram que o gráfico é o de
multiplicado por
(uma compressão vertical), ou, igualmente, um deslocamento em escala da função
.
Passo 5
Sinal, positividade e assíntota (mini-aula sobre comportamento):
- Qualquer potência de base positiva é positiva: para todo
,
- Portanto a função nunca atinge
nem fica negativa; a imagem (contraparte do domínio) é . - Como
tem-se e . Assim há uma assíntota horizontal em
- Como
tem-se e .
Passo 6
Monotonicidade (como saber se cresce ou decresce):
- Regra: para
, a função cresce se e decresce se . - Aqui
, logo é estritamente decrescente. Multiplicar por não muda o tipo (ainda decrescente). - Alternativamente, usando derivada (apenas para justificar rapidamente): a derivada é
Como
e
, segue
para todo
. Logo
é estritamente decrescente em
.
Passo 7
Pontos-chave para desenhar (tabela de valores fáceis — todos números em TeX):
- Calcular alguns pontos simples substituindo
:
- Observe que
. Esse é um ponto de referência importante (a chamada "interseção com a reta "). - Não há interseção com o eixo
(nunca atinge ), e é a assíntota horizontal.]
Passo 8
Como esboçar passo a passo (instruções para fazer na prova com régua e lápis):
- Desenhe os eixos
e e marque a linha horizontal (assíntota). - Marque o ponto
. - Marque outros pontos da tabela, por exemplo
, à esquerda e , à direita. - Ligue suavemente os pontos com uma curva decrescente que sobe muito à esquerda (tende a
) e se aproxima de à direita (sem tocar). - Coloque uma seta no sentido do aumento de
indicando que a curva segue decrescendo para a direita.
Dica prática: a forma
deixa claro que o gráfico é o de
comprimido verticalmente por fator
. Isso ajuda a posicionar rapidamente o ponto em
:
.
Passo 9
Resumo final das propriedades que o esboço deve mostrar:
- Domínio:
. - Imagem (contradomínio efetivo):
. - Monotonicidade: estritamente decrescente.
- Assíntota horizontal:
. - Pontos de referência:
, , , .
Resposta
Domínio máximo:
Esboço do gráfico: função exponencial decrescente com assíntota horizontal , passa por
e pelos pontos
,
,
; cresce sem limite à esquerda e tende a
à direita.
Esboço do gráfico: função exponencial decrescente com assíntota horizontal