Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar o domínio máximo da função.
- Esboçar o gráfico da função.
A função dada é
.
Informações fornecidas: a base da exponencial é (um número positivo menor que
) e há uma translação vertical de
.
Informações fornecidas: a base da exponencial é
Passo 2
Analisando o domínio: por definição, para qualquer base positiva
com
, a expressão
está bem definida para todo
. Aqui a base é
, portanto não há restrição nos expoentes. Assim o domínio é todo o conjunto dos números reais.
Breve explicação didática: pensar em
para
real pode ser feito via exponencial e logaritmo (por exemplo
), o que é válido para qualquer
desde que
. Como
, não há problema.
Passo 3
Determinar a imagem (intervalo de valores) — isso ajuda no esboço do gráfico.
Observe que para qualquer
vale
. Somando
a um número estritamente positivo obtemos sempre um número estritamente maior que
. Portanto
para todo
.
Agora estudar os limites para ver se
é atingido ou apenas uma assíntota:
logo
logo
Conclusão: a função nunca atinge
mas se aproxima dela quando
. Portanto a imagem é
.
Passo 4
Monotonicidade (comportamento de crescer/decrescer) — importante para desenhar a curva.
Para uma base
com
tem-se que
é estritamente decrescente em
. Intuição simples: aumentar
equivale a multiplicar por fatores cada vez menores (por exemplo, ir de
para
multiplica por
, então o valor diminui). Formalmente, usando
e
quando
, conclui-se que a exponencial decresce.
Como
, a função
é estritamente decrescente, e portanto
também é estritamente decrescente.
Passo 5
Pontos importantes para esboçar (calculei alguns valores para posicionar facilmente no papel):
Esses pontos mostram: em
o ponto é
; para
positivo a função já está próxima de
(decrescendo), para
negativo sobe muito (vai para
).
Passo 6
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para fazer na folha sem calculadora):
- Desenhe os eixos
e . - Trace uma linha horizontal pontilhada em
; essa é a assíntota horizontal à direita. - Marque os pontos calculados:
, , , . - Ligue os pontos com uma curva suave que:
- passa por
e , - é estritamente decrescente quando
aumenta, - aproxima-se de
quando , - cresce sem limite quando
.
- passa por
- Verifique consistência: à direita da origem a curva fica muito próxima de
mas sempre acima; à esquerda sobe rapidamente.
Dica prática: realizar uma tabela com mais alguns pontos (por exemplo
dá
) ajuda a posicionar com precisão menor, mas para um esboço basta os pontos acima e a assíntota.
Resposta
Domínio máximo:
Imagem (contradomínio efetivo):
Gráfico: curva estritamente decrescente, com assíntota horizontal , passando por
,
,
, tendendo a
quando
e a
quando
.
Imagem (contradomínio efetivo):
Gráfico: curva estritamente decrescente, com assíntota horizontal