Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}+2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar o domínio máximo da função.
  • Esboçar o gráfico da função.
A função dada é f(x)=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}+2.
Informações fornecidas: a base da exponencial é \frac{2}{3} (um número positivo menor que 1) e há uma translação vertical de +2.

Passo 2

Analisando o domínio: por definição, para qualquer base positiva a>0 com a\neq1, a expressão a^{x} está bem definida para todo x\in\mathbb{R}. Aqui a base é a=\frac{2}{3}>0, portanto não há restrição nos expoentes. Assim o domínio é todo o conjunto dos números reais.
Breve explicação didática: pensar em a^{x} para x real pode ser feito via exponencial e logaritmo (por exemplo a^{x}=e^{x\ln a}), o que é válido para qualquer x\in\mathbb{R} desde que a>0. Como \frac{2}{3}>0, não há problema.

Passo 3

Determinar a imagem (intervalo de valores) — isso ajuda no esboço do gráfico.
Observe que para qualquer x vale \left(\frac{2}{3}\right)^{x}>0. Somando 2 a um número estritamente positivo obtemos sempre um número estritamente maior que 2. Portanto f(x)>2 para todo x.
Agora estudar os limites para ver se 2 é atingido ou apenas uma assíntota:
\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{x}=0,
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\lim_{x\to+\infty}f(x)=2.
\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{x}=+\infty,
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\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.
Conclusão: a função nunca atinge 2 mas se aproxima dela quando x\to+\infty. Portanto a imagem é (2,\infty).

Passo 4

Monotonicidade (comportamento de crescer/decrescer) — importante para desenhar a curva.
Para uma base a com 0<a<1 tem-se que a^{x} é estritamente decrescente em x. Intuição simples: aumentar x equivale a multiplicar por fatores cada vez menores (por exemplo, ir de x para x+1 multiplica por a<1, então o valor diminui). Formalmente, usando a^{x}=e^{x\ln a} e \ln a<0 quando 0<a<1, conclui-se que a exponencial decresce.
Como \frac{2}{3}\in(0,1), a função x\mapsto\left(\frac{2}{3}\right)^{x} é estritamente decrescente, e portanto f(x)=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}+2 também é estritamente decrescente.

Passo 5

Pontos importantes para esboçar (calculei alguns valores para posicionar facilmente no papel):
f(0)=\left(\frac{2}{3}\right)^{0}+2=1+2=3.
f(1)=\left(\frac{2}{3}\right)^{1}+2=\frac{2}{3}+2=\frac{8}{3}.
f(2)=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+2=\frac{4}{9}+2=\frac{22}{9}.
f(-1)=\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}+2=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}.
Esses pontos mostram: em x=0 o ponto é (0,3); para x positivo a função já está próxima de 2 (decrescendo), para x negativo sobe muito (vai para +\infty).

Passo 6

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para fazer na folha sem calculadora):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Trace uma linha horizontal pontilhada em y=2; essa é a assíntota horizontal à direita.
  3. Marque os pontos calculados: (0,3), (1,\tfrac{8}{3}), (2,\tfrac{22}{9}), (-1,\tfrac{7}{2}).
  4. Ligue os pontos com uma curva suave que:
    • passa por (-1,\tfrac{7}{2}) e (0,3),
    • é estritamente decrescente quando x aumenta,
    • aproxima-se de y=2 quando x\to+\infty,
    • cresce sem limite quando x\to-\infty.
  5. Verifique consistência: à direita da origem a curva fica muito próxima de y=2 mas sempre acima; à esquerda sobe rapidamente.
Dica prática: realizar uma tabela com mais alguns pontos (por exemplo x=3 f(3)=\left(\tfrac{2}{3}\right)^3+2=\tfrac{8}{27}+2) ajuda a posicionar com precisão menor, mas para um esboço basta os pontos acima e a assíntota.

Resposta

Domínio máximo: \mathbb{R}
Imagem (contradomínio efetivo): (2,\infty)
Gráfico: curva estritamente decrescente, com assíntota horizontal y=2, passando por (0,3), (1,\tfrac{8}{3}), (-1,\tfrac{7}{2}), tendendo a 2 quando x\to+\infty e a +\infty quando x\to-\infty.

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