Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)=\left(\frac{3}{2}\right)^{x}+2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\left(\frac{3}{2}\right)^{x}+2
e pede duas coisas:
  • determinar o domínio máximo da função;
  • esboçar o gráfico da função (ou seja, descrever os elementos principais que permitem desenhá‑la: assíntotas, interceptos, comportamento quando x\to\pm\infty, monotonicidade, pontos de referência).
As informações relevantes que temos são apenas a expressão acima (a base da exponencial é \dfrac{3}{2}).

Passo 2

O que é necessário saber sobre funções exponenciais (mini‑aula):
  • A função básica g(x)=a^{x}\) com \(a>0\) e \(a\neq1\) está definida para todo \(x\in\mathbb{R}\). Ou seja, o domínio de \(g\) é \((-\infty,\infty)\). - Para qualquer \(x\), \(a^{x}>0\) (uma potência de base positiva nunca é zero nem negativa). - Se \(a>1\), \(g\) é estritamente crescente; se \(0<a<1\), \(g\) é estritamente decrescente. - Limites úteis: \[\lim_{x\to\infty}a^{x}=\begin{cases}\infty,&a>1,\\\ 0,&0<a<1,\end{cases} \qquad \lim_{x\to-\infty}a^{x}=\begin{cases}0,&a>1,\\infty,&0<a<1.\end{cases}
  • A derivada (se quiser justificar monotonicidade por cálculo) é \frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a,e o sinal de (\ln a] determina o sinal da derivada.

Passo 3

Aplicando a teoria à nossa função:
  • A função é uma exponencial deslocada verticalmente por +2. Escrevendo f(x)=g(x)+2 com g(x)=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{x}.
  • Como g(x) está definida para todo x\in\mathbb{R}, a soma g(x)+2 também está definida para todo x\in\mathbb{R}.
    Portanto o domínio máximo é
(-\infty,\infty).

Passo 4

Analisando a imagem (valor da função) e a assíntota:
  • Para todo x vale \left(\dfrac{3}{2}\right)^{x}>0. Logo f(x)=\left(\frac{3}{2}\right)^{x}+2>2.Portanto a imagem (contradomínio efetivo, ou seja, o conjunto de valores assumidos) é (2,\infty).
  • Como \lim_{x\to-\infty}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{x}=0, segue \lim_{x\to-\infty}f(x)=2.Assim y=2 é a assíntota horizontal à esquerda (na verdade para x\to-\infty).

Passo 5

Comportamento para x\to\infty e monotonicidade:
  • Como a base \dfrac{3}{2}>1, tem‑se \lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{x}=\infty. Logo \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty.
  • A derivada é f'(x)=\left(\frac{3}{2}\right)^{x}\ln\!\left(\frac{3}{2}\right).Como \left(\dfrac{3}{2}\right)^{x}>0 para todo x e \ln\!\left(\dfrac{3}{2}\right)>0 (porque \dfrac{3}{2}>1), temos f'(x)>0 para todo x. Portanto f é estritamente crescente em (-\infty,\infty).

Passo 6

Interceptos e pontos fáceis para plotar (mini‑guia para o esboço):
  • Interseção com o eixo y (tomando x=0): f(0)=\left(\frac{3}{2}\right)^{0}+2=1+2=3,logo o ponto \left(0,3\right).
  • Valor em x=1: f(1)=\left(\frac{3}{2}\right)^{1}+2=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}=3{,}5,ponto \left(1,\tfrac{7}{2}\right).
  • Valor em x=-1: f(-1)=\left(\frac{3}{2}\right)^{-1}+2=\frac{2}{3}+2=\frac{8}{3}\approx2{,}666\ldots,ponto \left(-1,\tfrac{8}{3}\right).
  • Não existe intercepto com o eixo x porque f(x)>2>0 para todo x.

Passo 7

Como esboçar na prova (passo a passo):
  1. Trace a assíntota horizontal y=2 como uma linha pontilhada.
  2. Marque os pontos de referência: \left(0,3\right), \left(1,\tfrac{7}{2}\right), \left(-1,\tfrac{8}{3}\right).
  3. Desenhe uma curva que passa por esses pontos, fica sempre acima de y=2, cresce quando x aumenta e tende para y=2 quando x\to-\infty e para +\infty quando x\to\infty.
  4. Indique que a função é estritamente crescente e que não corta o eixo x.

Passo 8

Resumo das propriedades importantes (para decorar e usar na prova):
  • Domínio: todos os reais.
  • Imagem (contradomínio efetivo): (2,\infty).
  • Assíntota horizontal: y=2.
  • Monotonicidade: estritamente crescente.
  • Pontos úteis: f(0)=3, f(1)=\tfrac{7}{2}, f(-1)=\tfrac{8}{3}.
  • Sem raízes reais.

Resposta

Domínio máximo: (-\infty,\infty)
Imagem (contradomínio efetivo): (2,\infty)
Assíntota horizontal: y=2
A função é estritamente crescente; pontos úteis: f(0)=3, f(1)=\tfrac{7}{2}, f(-1)=\tfrac{8}{3}.

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