Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- determinar o domínio máximo da função;
- esboçar o gráfico da função (ou seja, descrever os elementos principais que permitem desenhá‑la: assíntotas, interceptos, comportamento quando
, monotonicidade, pontos de referência).
As informações relevantes que temos são apenas a expressão acima (a base da exponencial é
).
Passo 2
O que é necessário saber sobre funções exponenciais (mini‑aula):
- A função básica
- A derivada (se quiser justificar monotonicidade por cálculo) é
e o sinal de (\ln a] determina o sinal da derivada.
Passo 3
Aplicando a teoria à nossa função:
- A função é uma exponencial deslocada verticalmente por
. Escrevendo com . - Como
está definida para todo , a soma também está definida para todo .
Portanto o domínio máximo é
Passo 4
Analisando a imagem (valor da função) e a assíntota:
- Para todo
vale . Logo Portanto a imagem (contradomínio efetivo, ou seja, o conjunto de valores assumidos) é . - Como
, segue Assim é a assíntota horizontal à esquerda (na verdade para ).
Passo 5
Comportamento para
e monotonicidade:
- Como a base
, tem‑se . Logo - A derivada é
Como para todo e (porque ), temos para todo . Portanto é estritamente crescente em .
Passo 6
Interceptos e pontos fáceis para plotar (mini‑guia para o esboço):
- Interseção com o eixo
(tomando ): logo o ponto . - Valor em
: ponto . - Valor em
: ponto . - Não existe intercepto com o eixo
porque para todo .
Passo 7
Como esboçar na prova (passo a passo):
- Trace a assíntota horizontal
como uma linha pontilhada. - Marque os pontos de referência:
, , . - Desenhe uma curva que passa por esses pontos, fica sempre acima de
, cresce quando aumenta e tende para quando e para quando . - Indique que a função é estritamente crescente e que não corta o eixo
.
Passo 8
Resumo das propriedades importantes (para decorar e usar na prova):
- Domínio: todos os reais.
- Imagem (contradomínio efetivo):
. - Assíntota horizontal:
. - Monotonicidade: estritamente crescente.
- Pontos úteis:
, , . - Sem raízes reais.
Resposta
Domínio máximo:
Imagem (contradomínio efetivo):
Assíntota horizontal:
A função é estritamente crescente; pontos úteis: ,
,
.
Imagem (contradomínio efetivo):
Assíntota horizontal:
A função é estritamente crescente; pontos úteis: