Determine o domínio máximo da função. Represente no plano cartesiano.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio máximo da função
e depois representar esse domínio no plano cartesiano. Esse exercício envolve conceitos de funções logarítmicas e análise de domínios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural,
, só está definido para valores positivos. Ou seja, o que está dentro do logaritmo precisa ser maior que zero. Então, temos que:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa desigualdade. Podemos reescrever
como uma diferença de quadrados:
Então, temos:
Passo 4
Para que o produto de dois termos seja positivo, ambos os termos precisam ser positivos ou ambos negativos. Vamos analisar os dois casos:
Caso 1:
e
Isso significa que:
Juntando essas duas desigualdades, concluímos que:
Caso 2:
e
Isso significa que:
Juntando essas duas desigualdades, concluímos que:
Passo 5
Então, o domínio da função consiste nos pontos onde
ou
. Em termos gráficos, isso corresponde às regiões fora das retas
e
.
Passo 6
Para representar isso no plano cartesiano, desenhe as retas
e
. As regiões que pertencem ao domínio são aquelas que estão acima de
e abaixo de
(para
), e abaixo de
e acima de
(para
).
Resposta
O domínio máximo da função
é o conjunto de todos os pontos
onde
ou
. No plano cartesiano, isso corresponde às regiões situadas fora das retas
e
.