Determine o domínio máximo da função. Represente no plano cartesiano.
z=ln (x^2-y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio máximo da função z = ln(x^2 - y^2) e depois representar esse domínio no plano cartesiano. Esse exercício envolve conceitos de funções logarítmicas e análise de domínios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural, ln , só está definido para valores positivos. Ou seja, o que está dentro do logaritmo precisa ser maior que zero. Então, temos que:
x^2 - y^2 > 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa desigualdade. Podemos reescrever x^2 - y^2 como uma diferença de quadrados:
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)
Então, temos:
(x - y)(x + y) > 0

Passo 4

Para que o produto de dois termos seja positivo, ambos os termos precisam ser positivos ou ambos negativos. Vamos analisar os dois casos:
Caso 1: x - y > 0 e x + y > 0
Isso significa que:
x > y e x > -y
Juntando essas duas desigualdades, concluímos que:
x > |y|
Caso 2: x - y < 0 e x + y < 0
Isso significa que:
x < y e x < -y
Juntando essas duas desigualdades, concluímos que:
x < -|y|

Passo 5

Então, o domínio da função consiste nos pontos onde x > |y| ou x < -|y| . Em termos gráficos, isso corresponde às regiões fora das retas y = x e y = -x .

Passo 6

Para representar isso no plano cartesiano, desenhe as retas y = x e y = -x . As regiões que pertencem ao domínio são aquelas que estão acima de y = x e abaixo de y = -x (para x > |y| ), e abaixo de y = x e acima de y = -x (para x < -|y| ).

Resposta

O domínio máximo da função z = ln(x^2 - y^2) é o conjunto de todos os pontos (x, y) onde x > |y| ou x < -|y| . No plano cartesiano, isso corresponde às regiões situadas fora das retas y = x e y = -x .

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