Determine se a série é convergente ou divergente
sumn=1^infty nn^2+1 D

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^inftynn^2+1
O conteúdo principal aqui são testes de comparação ou comparação limite com séries conhecidas (por exemplo, a série harmônica). Vamos usar o teste de comparação-limite com a série harmônica, que é sum 1/n.

Passo 2

Definimos
an = nn^2+1 e bn = 1n
Sabemos que sum bn (a série harmônica) diverge porque é um p-série com p=1.

Passo 3

Aplicamos o teste de comparação-limite: calculamos
limntoinftyanbn = limntoinftynn^2+11n = limntoinftyn^2n^2+1 = 1
Como esse limite é um número finito e não nulo, an e bn compartilham o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Como sum bn = sum 1/n diverge e o limite acima é 1neq0, concluímos que
sum an = sum nn^2+1 também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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