Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 1+2^n3^n 5 / 2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty1+2^n3^n;52
é convergente e, em caso afirmativo, calcular sua soma. O conteúdo é séries numéricas, em especial séries geométricas, e vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica para testar convergência e obter o valor da soma.

Passo 2

Observe que o fator tfrac52 é constante em n. Podemos escrever
S ;=;sumn=1^infty1+2^n3^n;52 ;=;52sumn=1^inftyl(13^n+l(tfrac23r)^nr)
Assim reduzimos o problema à soma de duas séries geométricas.

Passo 3

A primeira série é
sumn=1^infty13^n,
que tem termo inicial a1=tfrac13 e razão r=tfrac13. Como lvert rrvert<1, ela converge e
sumn=1^infty13^n =tfrac131-tfrac13 =1/32/3 =12

Passo 4

A segunda série é
sumn=1^inftyl(tfrac23r)^n,
com a1=tfrac23 e r=tfrac23. Como lvert rrvert<1, ela também converge e
sumn=1^inftyl(tfrac23r)^n =tfrac231-tfrac23 =2/31/3 =2

Passo 5

Somando as duas séries internas obtemos
sumn=1^inftyl(13^n+l(tfrac23r)^nr) =12+2 =52
Logo a série original converge e sua soma é
S =52times52 =254

Resposta

A série converge e
sumn=1^infty1+2^n3^n;52 =254

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