Seja a função
z=f(x, y)=x+yx^2-y^2
Mostre que as curvas de nível de f são círculos do plano. Represente no plano cartesiano para os valores c=-2,-1,1,2.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função z = f(x, y) = x + yx^2 - y^2 . A pergunta quer que a gente mostre que as curvas de nível dessa função são círculos no plano cartesiano. Além disso, precisamos representar essas curvas para os valores de c = -2, -1, 1, 2 .
Curvas de nível são basicamente todas as combinações de x e y que dão o mesmo valor de z (neste caso, c ). Para resolver isso, vamos manipular a equação da função para chegar em uma forma que reconheçamos como a equação de um círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que são curvas de nível. Para nossa função, uma curva de nível para um valor específico c é onde f(x, y) = c . Então, temos:
x + yx^2 - y^2 = c
Nosso objetivo é manipular essa equação para ver se ela pode ser escrita na forma da equação de um círculo.

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por x^2 - y^2 para eliminar a fração:
x + y = c(x^2 - y^2)
Agora, vamos expandir o lado direito:
x + y = c x^2 - c y^2

Passo 4

Vamos reorganizar a equação trazendo todos os termos para um lado:
c x^2 - c y^2 - x - y = 0
Agora, nosso objetivo é rearranjar essa equação para que ela pareça a equação padrão de um círculo, que é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
onde (h, k) é o centro do círculo e r é o raio.

Passo 5

Para facilitar, vamos dividir toda a equação por c (assumindo que c neq 0 ):
x^2 - y^2 - 1cx - 1cy = 0
Agora, vamos agrupar os termos de x e y :
x^2 - 1cx - y^2 - 1cy = 0

Passo 6

Vamos completar o quadrado para os termos de x e y separadamente. Completar o quadrado é uma técnica usada para transformar uma equação quadrática na forma de um quadrado perfeito, facilitando a identificação de círculos.
Primeiro, para x :
x^2 - 1cx
O termo que falta para completar o quadrado é (12c)^2 = 14c^2 .
Fazendo o mesmo para y :
-y^2 - 1cy
Aqui, vamos fatorar o coeficiente de y^2 :
- ( y^2 + 1cy )
O termo que falta para completar o quadrado dentro do parênteses é (12c)^2 = 14c^2 .

Passo 7

Inserindo esses termos na equação:
( x^2 - 1cx + 14c^2 ) - 14c^2 - ( y^2 + 1cy + 14c^2 ) + 14c^2 = 0
Simplificando:
( x - 12c )^2 - ( y + 12c )^2 - 14c^2 + 14c^2 = 0
Os termos constantes se cancelam:
( x - 12c )^2 - ( y + 12c )^2 = 0

Passo 8

Agora, a equação acima mostra que a diferença de dois quadrados é zero, o que implica que:
( x - 12c )^2 = ( y + 12c )^2
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
x - 12c = pm ( y + 12c )
Isso nos dá duas equações lineares, mas para que as curvas sejam círculos, precisamos revisar nossa abordagem.

Passo 9

Parece que houve um erro na conclusão anterior. Vamos refazer a etapa de completar o quadrado de forma adequada. Retomando o passo 6:
x^2 - 1cx - y^2 - 1cy = 0
Vamos reescrever isso como:
x^2 - 1cx + ( 12c )^2 - ( 12c )^2 - [ y^2 + 1cy + ( 12c )^2 - ( 12c )^2 ] = 0
Simplificando:
( x - 12c )^2 - 14c^2 - ( y + 12c )^2 + 14c^2 = 0
Agora, os termos constantes de x e y cancelam:
( x - 12c )^2 - ( y + 12c )^2 = 0

Passo 10

Ainda não estamos chegando a um círculo. Vamos tentar uma abordagem diferente. Vamos multiplicar ambos os lados da equação x + y = c(x^2 - y^2) por 1/c :
xc + yc = x^2 - y^2
Agora, vamos reorganizar:
x^2 - xc - y^2 - yc = 0
Agora, completando o quadrado para x e y :
( x^2 - xc + ( 12c )^2 ) - ( 12c )^2 - ( y^2 + yc + ( 12c )^2 ) + ( 12c )^2 = 0
Simplificando:
( x - 12c )^2 - ( y + 12c )^2 = 14c^2 - 14c^2 = 0
Estamos de volta à mesma conclusão, o que indica que as curvas não são círculos, mas sim hipérboles.

Passo 11

Ops, parece que houve uma confusão. Na verdade, as curvas de nível dessa função são hipérboles, não círculos. Isso porque a equação final que chegamos representa a diferença de dois quadrados iguais a zero, característica de hipérboles.
No entanto, para a questão, vamos considerar que talvez haja uma interpretação diferente ou uma simplificação necessária.

Passo 12

Reavaliando o problema, percebemos que a expressão x^2 - y^2 no denominador sugere uma hipérbole, não um círculo. Portanto, as curvas de nível dessa função são hipérboles com diferentes constantes.

Resposta

Após resolver a equação das curvas de nível da função f(x, y) = x + yx^2 - y^2 , concluímos que elas são hipérboles, não círculos. Portanto, as curvas de nível para c = -2, -1, 1, 2 são hipérboles representadas pela equação x + y = c(x^2 - y^2) .

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