Determine o domínio máximo da função. Represente no plano cartesiano.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o domínio máximo da função
e representá-lo no plano cartesiano. Basicamente, precisamos descobrir para quais valores de
e
a função está definida. Para isso, vamos usar conceitos de funções e seus domínios, além de entender como a função cosseno se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a expressão dentro da raiz quadrada, ou seja,
, deve ser maior ou igual a zero para que a função esteja definida. Isso porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Então, temos a condição:
Passo 3
Agora, vamos analisar essa condição. Para que o produto
seja não negativo, temos duas possibilidades:
-
Ambos os fatores são positivos:
-
-
Ambos os fatores são negativos:
-
Passo 4
Vamos entender onde o cosseno é positivo ou negativo no gráfico. A função
é positiva nos intervalos:
e negativa nos intervalos:
onde
é qualquer inteiro.
Isso significa que a cada período de
, o cosseno muda de sinal.
Passo 5
Com base nisso, vamos definir o domínio:
-
Quando
: -
-
Quando
: -
Assim, combinando essas condições, o domínio da função é o conjunto de todos os pares
que satisfazem:
ou
Passo 6
Para representar isso no plano cartesiano, podemos observar que:
- Quando
é positivo (entre e mais múltiplos de ), os valores de devem ser positivos ou zero. - Quando
é negativo (entre e mais múltiplos de ), os valores de devem ser negativos ou zero.
Isso cria regiões no plano onde
está alinhado com o sinal de
.
Resposta
O domínio máximo da função
é o conjunto de todos os pares
onde
. Em outras palavras:
Graficamente, isso corresponde às regiões no plano cartesiano onde
tem o mesmo sinal que
.