Determine o domínio máximo da função. Represente no plano cartesiano.
z=raizy cos x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o domínio máximo da função z = raizy cos x e representá-lo no plano cartesiano. Basicamente, precisamos descobrir para quais valores de x e y a função está definida. Para isso, vamos usar conceitos de funções e seus domínios, além de entender como a função cosseno se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a expressão dentro da raiz quadrada, ou seja, y cos x , deve ser maior ou igual a zero para que a função esteja definida. Isso porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Então, temos a condição:
y cos x >= 0

Passo 3

Agora, vamos analisar essa condição. Para que o produto y cos x seja não negativo, temos duas possibilidades:
  1. Ambos os fatores são positivos:
    • y >= 0
    • cos x >= 0
  2. Ambos os fatores são negativos:
    • y <= 0
    • cos x <= 0

Passo 4

Vamos entender onde o cosseno é positivo ou negativo no gráfico. A função cos x é positiva nos intervalos:
-pi2 + 2kpi <= x <= pi2 + 2kpi
e negativa nos intervalos:
pi2 + 2kpi <= x <= 3pi2 + 2kpi
onde k é qualquer inteiro.
Isso significa que a cada período de 2pi , o cosseno muda de sinal.

Passo 5

Com base nisso, vamos definir o domínio:
  1. Quando cos x >= 0 :
    • y >= 0
  2. Quando cos x <= 0 :
    • y <= 0
Assim, combinando essas condições, o domínio da função é o conjunto de todos os pares (x, y) que satisfazem:
y >= 0 e cos x >= 0
ou
y <= 0 e cos x <= 0

Passo 6

Para representar isso no plano cartesiano, podemos observar que:
  • Quando cos x é positivo (entre -pi2 e pi2 mais múltiplos de 2pi ), os valores de y devem ser positivos ou zero.
  • Quando cos x é negativo (entre pi2 e 3pi2 mais múltiplos de 2pi ), os valores de y devem ser negativos ou zero.
Isso cria regiões no plano onde y está alinhado com o sinal de cos x .

Resposta

O domínio máximo da função z = raizy cos x é o conjunto de todos os pares (x, y) onde y cos x >= 0 . Em outras palavras:
Domínio = , (x, y) in R^2 mid y >= 0 e cos x >= 0 ;ou; y <= 0 e cos x <= 0 , í
Graficamente, isso corresponde às regiões no plano cartesiano onde y tem o mesmo sinal que cos x .

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