Determine se a série converge ou diverge
sumn=1^infty n+1n raizn D

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty n+1nraizn
converge ou diverge. O conteúdo envolvido é séries numéricas e, em particular, o teste de comparação com séries p-séries.

Passo 2

Observe o termo geral
an = n+1nraizn
Podemos escrever
an = n,(1+tfrac1n)n^3/2 = 1+tfrac1nn^1/2

Passo 3

Para n grande, tfrac1n é pequeno, então
an sim 1n^1/2
Isto sugere comparar com a p-série
sumn=1^infty 1n^1/2,
que é divergente pois p=tfrac12 <= 1.

Passo 4

De fato, para todo n>=1 vale
1+1n >= 1 Longrightarrow an = 1+tfrac1nn^1/2 >= 1n^1/2
Como sum 1/n^1/2 diverge, pelo teste de comparação direta a série dada também diverge.

Resposta

A série diverge.

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