Determine o domínio natural de cada uma das funções abaixo.
f(x)=raizx-1x+1

Passo 1

O enunciado pede o domínio natural da função
f(x)=raizx-1x+1
Aqui o conteúdo é análise de domínio para função que envolve radiciação e fração. Para o domínio temos dois requisitos principais:
  1. O denominador não pode ser zero.
  2. O radicando (a expressão dentro da raiz) deve ser maior ou igual a zero.

Passo 2

Identificamos o denominador da fração dentro da raiz: x+1.
Para evitar divisão por zero, exigimos
x+1 neq 0 Longrightarrow x neq -1

Passo 3

Agora impomos que o radicando seja não-negativo:
x-1x+1 >= 0
Os pontos críticos dessa desigualdade são as raízes do numerador e do denominador, ou seja, x=1 e x=-1. Vamos analisar o sinal em cada intervalo determinado por esses pontos:
  • Para x<-1: tanto x-1<0 quanto x+1<0, logo x-1x+1>0.
  • Para -1<x<1: x-1<0 e x+1>0, logo x-1x+1<0.
  • Para x>1: x-1>0 e x+1>0, logo x-1x+1>0.
No ponto x=1 o numerador zera, dando 1-11+1=0, o que satisfaz a condição >=0. Em x=-1 a fração é indefinida, como já vimos.

Passo 4

Combinando os requisitos:
  • dfracx-1x+1>=0 ocorre em (-infty,-1) e em [1,infty).
  • Excluímos x=-1.
    Logo o domínio natural é
(-infty,-1);cup;[1,infty)

Resposta

O domínio natural de f é
(-infty,-1)cup[1,infty)

Exercícios relacionados