• Questão 31. Calcule os seguintes limites (usando as regras de L’Hospital)
    lim x +infty[1+1x^2]^x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto+inftyl[1+1x^2r]^x,
que é da forma 1^infty. Vamos usar a transformação logarítmica e a regra de L’Hospital.

Passo 2

Definimos
L = limxto+inftyl[1+1x^2r]^x
e aplicamos o logaritmo natural:
ln L = limxto+infty x,ln!l(1+1x^2r)

Passo 3

Para calcular
limxto+infty x,lnl(1+1/x^2r),
reescrevemos como quociente na forma 0/0:
limxto+inftylnl(1+1/x^2r)1/x

Passo 4

Pela regra de L’Hospital, derivamos numerador e denominador:
ddxln!l(1+1x^2r) =11+1/x^2cdotl(-2x^3r),
ddxl(1xr) =-1x^2
Então
limxto+inftyln(1+1/x^2)1/x =limxto+infty-2/l(x^3(1+1/x^2)r)-1/x^2

Passo 5

Simplificando o quociente:
-2/l(x^3(1+1/x^2)r)-1/x^2 =2x^2x^3(1+1/x^2) =2x(1+1/x^2),
e esse limite, quando xto+infty, vale 0. Portanto ln L=0.

Passo 6

Como ln L=0, segue que
L = e^0 = 1

Resposta

1

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