Determine o domínio (natural) de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio natural da função
. Isso significa que precisamos encontrar todos os valores de
que deixam a função definida e com resultados reais. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as raízes quadradas e as restrições que elas impõem nas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que dentro de uma raiz quadrada, o que estiver lá precisa ser maior ou igual a zero. Se for negativo, a raiz não está definida nos números reais. Então, para a nossa função
, precisamos garantir que o que está dentro da raiz seja pelo menos zero:
Passo 3
Agora, vamos resolver a desigualdade
. Para isso, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem essa condição. Primeiro, vamos achar onde a expressão iguala zero, ou seja, resolver a equação quadrática:
Passo 4
Vamos fatorar a equação quadrática. Procuramos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão -1. Esses números são 3 e -2. Então, a fatoração fica:
Isso nos dá as raízes
e
.
Passo 5
Agora, vamos analisar onde a expressão
é maior ou igual a zero. Para isso, dividimos a linha dos números reais em três intervalos usando as raízes encontradas:
Vamos testar cada intervalo para ver se a expressão é positiva ou negativa.
Passo 6
Intervalo 1:
Escolha um número, por exemplo,
:
Nesse intervalo, a expressão é positiva.
Intervalo 2:
Escolha um número, por exemplo,
:
Aqui, a expressão é negativa.
Intervalo 3:
Escolha um número, por exemplo,
:
Neste intervalo, a expressão é positiva.
Passo 7
Concluímos que a expressão
é maior ou igual a zero quando:
Isso significa que o domínio natural da função
são todos os
que satisfazem essas condições.
Resposta
O domínio natural da função
é todos os números reais tais que
ou
. Em forma de intervalo: