Determine o domínio (natural) de cada uma das seguintes funções:
f(x)=raizx^2-x-6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio natural da função f(x) = raizx^2 - x - 6 . Isso significa que precisamos encontrar todos os valores de x que deixam a função definida e com resultados reais. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as raízes quadradas e as restrições que elas impõem nas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dentro de uma raiz quadrada, o que estiver lá precisa ser maior ou igual a zero. Se for negativo, a raiz não está definida nos números reais. Então, para a nossa função f(x) = raizx^2 - x - 6 , precisamos garantir que o que está dentro da raiz seja pelo menos zero:
x^2 - x - 6 >= 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a desigualdade x^2 - x - 6 >= 0 . Para isso, precisamos encontrar os valores de x que satisfazem essa condição. Primeiro, vamos achar onde a expressão iguala zero, ou seja, resolver a equação quadrática:
x^2 - x - 6 = 0

Passo 4

Vamos fatorar a equação quadrática. Procuramos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão -1. Esses números são 3 e -2. Então, a fatoração fica:
(x - 3)(x + 2) = 0
Isso nos dá as raízes x = 3 e x = -2 .

Passo 5

Agora, vamos analisar onde a expressão (x - 3)(x + 2) é maior ou igual a zero. Para isso, dividimos a linha dos números reais em três intervalos usando as raízes encontradas:
  1. x < -2
  2. -2 < x < 3
  3. x > 3
Vamos testar cada intervalo para ver se a expressão é positiva ou negativa.

Passo 6

Intervalo 1: x < -2
Escolha um número, por exemplo, x = -3 :
(x - 3)(x + 2) = (-3 - 3)(-3 + 2) = (-6)(-1) = 6 >= 0
Nesse intervalo, a expressão é positiva.
Intervalo 2: -2 < x < 3
Escolha um número, por exemplo, x = 0 :
(x - 3)(x + 2) = (0 - 3)(0 + 2) = (-3)(2) = -6 < 0
Aqui, a expressão é negativa.
Intervalo 3: x > 3
Escolha um número, por exemplo, x = 4 :
(x - 3)(x + 2) = (4 - 3)(4 + 2) = (1)(6) = 6 >= 0
Neste intervalo, a expressão é positiva.

Passo 7

Concluímos que a expressão x^2 - x - 6 é maior ou igual a zero quando:
x <= -2 ou x >= 3
Isso significa que o domínio natural da função f(x) são todos os x que satisfazem essas condições.

Resposta

O domínio natural da função f(x) = raizx^2 - x - 6 é todos os números reais tais que x <= -2 ou x >= 3 . Em forma de intervalo:
x in (-infty, -2] cup [3, +infty)

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