(a) Esboce o gráfico das funções definidas abaixo.
(b) Determine os conjuntos domínio e imagem de cada função.
Passo 1
O enunciado pede para (a) esboçar o gráfico de
f(x)=l|x^2-3x+2r|
e (b) determinar domínio e imagem dessa função. Aqui vamos usar conhecimento de fatoração de polinômio, análise de sinal e definição de valor absoluto para montar um esboço por partes.
Passo 2
Começamos fatorando o quadrático interno:
x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)
Dessa forma, ele se anula em x=1 e x=2. Como é uma parábola com coeficiente de x^2 positivo, ela é
não negativa para x<=1 e x>=2,
negativa para 1<x<2.
Passo 3
Pelo valor absoluto, temos a forma piecewise:
f(x)= x^2-3x+2, & x<=1 ou x>=2,[6pt] -l(x^2-3x+2r), & 1<= x<=2
No trecho [1,2] o gráfico é a parábola invertida
-(x^2-3x+2) = -x^2+3x-2
com vértice em x=tfrac32. O valor interno no vértice vale
l(tfrac32r)^2-3cdottfrac32+2 = -tfrac14,
então
fl(tfrac32r) = -l(-tfrac14r) = tfrac14
]
Passo 4
Para esboçar o gráfico:
Para x<=1 e x>=2, traçamos a parábola original y=x^2-3x+2, que cresce para pminfty e se anula em 1 e 2.
Para 1<= x<=2, refletimos o ramo interno em relação ao eixo x, obtendo um pico em l(tfrac32,tfrac14r) e zeros em (1,0) e (2,0).
O resultado é uma “parábola dupla”, contínua, sempre não negativa.
Passo 5
O domínio de f é todo número real, pois não há restrição de raiz ou divisão por zero em l|x^2-3x+2r|. Logo
Dom(f)=R
Como l|x^2-3x+2r|>=0 para todo x e cresce indefinidamente para pminfty, a imagem é
Im(f)=[0,infty)
Resposta
(a) O gráfico é a parábola y=x^2-3x+2 para x<=1 e x>=2, com o segmento interno 1<= x<=2 refletido acima do eixo x, atingindo máximo de tfrac14 em x=tfrac32.
(b) Dom(f)=R, Im(f)=[0,infty).