Determine o domínio natural e esboce o gráfico da função:
k) f(x)= \begin{cases}x, & \text { se } x \leq 3 \\\\ 3, & \text { se } x>3\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar o domínio natural da função.
  • Esboçar o gráfico da função.
A função dada é
f(x)= \begin{cases} x, & \text{se } x\le 3,\\[4pt] 3, & \text{se } x>3. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • Para valores de x menores ou iguais a 3, a função vale f(x)=x.
  • Para valores de x maiores que 3, a função vale f(x)=3.]

Passo 2

O que significa “domínio natural”? Vou explicar devagar: o domínio natural de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a regra que define a função faz sentido sem ambiguidade (ou seja, onde as expressões aparecem estão bem definidas). Exemplos rápidos:
  • A expressão x está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • A constante 3 também está definida para todo x\in\mathbb{R}.
Aplicando isso à nossa função por partes:
  • A parte \,f(x)=x está válida para todos os x que satisfazem \,x\le 3, e essa expressão existe para qualquer real.
  • A parte \,f(x)=3 está válida para todos os x que satisfazem \,x>3, e essa expressão também existe para qualquer real.
Como as duas partes cobrem todos os reais (a primeira cobre (-\infty,3] e a segunda cobre (3,\infty)), o domínio natural é todo o conjunto dos números reais. Em notação:
\text{dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Agora vamos esboçar o gráfico. A ideia é desenhar separadamente cada ramo e depois juntá-los:
  1. Ramo para \,x\le 3: a regra é \,y=f(x)=x.
  • Isso é a reta identidade de equação \,y=x.
  • Para traçar, basta marcar alguns pontos fáceis: (-1,-1), (0,0), (2,2), (3,3).
  • Como a condição é \,x\le 3, o ponto (3,3) pertence ao ramo; no desenho ele deve aparecer como ponto preenchido (ponto sólido).
  1. Ramo para \,x>3: a regra é \,y=f(x)=3.
  • Isso é a reta horizontal de equação \,y=3.
  • Ela vale apenas para x>3, ou seja, começa imediatamente à direita de x=3.
  • No ponto (3,3) essa reta não inclui x=3, então, se fosse desenhar somente esse ramo, marcar-se-ia uma circunferência aberta (ponto não preenchido) em (3,3). Porém, como já temos o ponto preenchido vindo do ramo anterior, no gráfico final haverá o ponto preenchido em (3,3) e a reta horizontal estendendo-se para a direita a partir de x>3.

Passo 4

Verificação de continuidade em x=3 (é útil na hora da prova): calculemos os limites laterais e o valor da função em 3.
  • Limite pela esquerda: \lim_{x\to 3^-} f(x)=\lim_{x\to 3^-} x = 3.
  • Limite pela direita: \lim_{x\to 3^+} f(x)=\lim_{x\to 3^+} 3 = 3.
  • Valor: f(3)=3 (porque a primeira regra vale em x=3).
    Como os dois limites laterais são iguais entre si e iguais ao valor da função, a função é contínua em x=3. No gráfico isso aparece como uma transição suave: a reta y=x chega em (3,3) e a reta horizontal (y=3) continua dali para a direita sem buraco.

Passo 5

Como desenhar passo a passo à mão (dica prática rápida):
  • Trace eixos x e y. Marque o ponto x=3 no eixo x e suba até y=3 para localizar (3,3).
  • Desenhe a reta \,y=x para a esquerda até onde quiser, certificando-se de que o trecho até (3,3) esteja sólido (inclusive (3,3) preenchido).
  • A partir de um pouco à direita de x=3, desenhe a reta horizontal y=3 estendendo-se para a direita. Opcionalmente indique a origem da reta em x=3 com uma circunferência aberta, mas lembre-se de preencher (3,3) por causa do ramo esquerdo — o resultado visual é apenas a reta horizontal começando já no ponto preenchido.

Resposta

\text{dom}(f)=\mathbb{R}
Gráfico: reta y=x para x\le 3 (incluindo o ponto (3,3)) e reta horizontal y=3 para x>3; as duas peças coincidem em (3,3), logo a função é contínua em x=3.

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