Se
e
são reais, determine e simplifique
,
para cada função abaixo:
b)
b)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular e simplificar as expressões
-
, -
, -
, -
, -
, -
.
As letras
e
são números reais arbitrários. Em todos os casos a ideia é aplicar a definição da função substituindo
pelo valor pedido e então simplificar usando álgebra elementar (potências, sinais, fatoração, cancelamento). Na divisão por
é preciso lembrar que a simplificação algébrica que elimina
assume
.
Passo 2
Calcular
é apenas substituir
por
em
.
Explicação: aqui
significa
ao quadrado; o termo
vem do termo linear de
e
é a constante — nada mais a fazer além de escrever a expressão com
.
Passo 3
Calcular
exige substituir
por
. Preste atenção ao sinal ao elevar ao quadrado e ao termo linear.
Agora simplifico os sinais passo a passo:
-
porque o quadrado elimina o sinal, -
.
Logo
Passo 4
Calcular
significa multiplicar por
a expressão que já obtivemos para
.
Distribuindo o sinal negativo em cada termo:
Explicação: multiplicar por
troca o sinal de cada termo.
Passo 5
Calcular
pede substituir
por
. Use a fórmula de quadrado de binômio para
:
Expansão do quadrado e distribuição do sinal:
Somando tudo:
Dica prática: escrever cada termo separado e depois juntar ajuda a não perder sinais.
Passo 6
Calcular
significa somar
e
. Já temos
. Agora escrevo
substituindo
por
:
Somando termo a termo:
Explicação: some os termos semelhantes quando houver; aqui não há termos
comuns, então ficam separadas as parcelas em
e em
.
Passo 7
Calcular a diferença quociente
. Primeiro faço a diferença no numerador usando as expressões que já obtivemos.
Agora distribuo o sinal de menos no segundo parêntese e cancelo termos iguais passo a passo:
Agrupando e cancelando
e
, e também
, sobra
Fatoro
(fator comum) para simplificar a divisão por
:
Agora divido por
. Como mencionado antes, isto é válido algebricamente para
; se
o quociente original não está definido, mas o limite quando
existe e coincide com o resultado abaixo com
.
Observação final (útil para prova): o resultado
quando
tende a
, que é a derivada
da função quadrática
no ponto
.