Se a e h são reais, determine e simplifique f(a), f(-a),-f(a), f(a+h), f(a)+f(h), \frac{f(a+h)-f(a)}{h} para cada função abaixo:
b) f(x)=x^{2}-x+3

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}-x+3 e pede para calcular e simplificar as expressões
  • f(a),
  • f(-a),
  • -f(a),
  • f(a+h),
  • f(a)+f(h),
  • \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.
As letras a e h são números reais arbitrários. Em todos os casos a ideia é aplicar a definição da função substituindo x pelo valor pedido e então simplificar usando álgebra elementar (potências, sinais, fatoração, cancelamento). Na divisão por h é preciso lembrar que a simplificação algébrica que elimina h assume h\neq0.

Passo 2

Calcular f(a) é apenas substituir x por a em f(x).
f(a)=a^{2}-a+3.
Explicação: aqui a^{2} significa a ao quadrado; o termo -a vem do termo linear de f e +3 é a constante — nada mais a fazer além de escrever a expressão com a.

Passo 3

Calcular f(-a) exige substituir x por -a. Preste atenção ao sinal ao elevar ao quadrado e ao termo linear.
f(-a)=(-a)^{2}-(-a)+3.
Agora simplifico os sinais passo a passo:
  • (-a)^{2}=a^{2} porque o quadrado elimina o sinal,
  • -(-a)=+a.
Logo
f(-a)=a^{2}+a+3.

Passo 4

Calcular -f(a) significa multiplicar por -1 a expressão que já obtivemos para f(a).
-f(a)=-(a^{2}-a+3).
Distribuindo o sinal negativo em cada termo:
-f(a)=-a^{2}+a-3.
Explicação: multiplicar por -1 troca o sinal de cada termo.

Passo 5

Calcular f(a+h) pede substituir x por a+h. Use a fórmula de quadrado de binômio para (a+h)^{2}:
f(a+h)=(a+h)^{2}-(a+h)+3.
Expansão do quadrado e distribuição do sinal:
(a+h)^{2}=a^{2}+2ah+h^{2}, \qquad -(a+h)=-a-h.
Somando tudo:
f(a+h)=a^{2}+2ah+h^{2}-a-h+3.
Dica prática: escrever cada termo separado e depois juntar ajuda a não perder sinais.

Passo 6

Calcular f(a)+f(h) significa somar f(a) e f(h). Já temos f(a)=a^{2}-a+3. Agora escrevo f(h) substituindo x por h:
f(h)=h^{2}-h+3.
Somando termo a termo:
f(a)+f(h)=(a^{2}-a+3)+(h^{2}-h+3)=a^{2}+h^{2}-a-h+6.
Explicação: some os termos semelhantes quando houver; aqui não há termos ah comuns, então ficam separadas as parcelas em a e em h.

Passo 7

Calcular a diferença quociente \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}. Primeiro faço a diferença no numerador usando as expressões que já obtivemos.
f(a+h)-f(a)=(a^{2}+2ah+h^{2}-a-h+3)-(a^{2}-a+3).
Agora distribuo o sinal de menos no segundo parêntese e cancelo termos iguais passo a passo:
f(a+h)-f(a)=a^{2}+2ah+h^{2}-a-h+3 -a^{2}+a-3.
Agrupando e cancelando a^{2}-a^{2}=0 e +3-3=0, e também -a+a=0, sobra
f(a+h)-f(a)=2ah+h^{2}-h.
Fatoro h (fator comum) para simplificar a divisão por h:
f(a+h)-f(a)=h(2a+h-1).
Agora divido por h. Como mencionado antes, isto é válido algebricamente para h\neq0; se h=0 o quociente original não está definido, mas o limite quando h\to0 existe e coincide com o resultado abaixo com h=0.
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{h(2a+h-1)}{h}=2a+h-1,\qquad (h\neq0).
Observação final (útil para prova): o resultado \,2a+h-1\, quando h\to0 tende a 2a-1, que é a derivada \,f'(a)\, da função quadrática f no ponto a.

Resposta

f(a)=a^{2}-a+3
f(-a)=a^{2}+a+3
-f(a)=-a^{2}+a-3
f(a+h)=a^{2}+2ah+h^{2}-a-h+3
f(a)+f(h)=a^{2}+h^{2}-a-h+6
\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=2a+h-1 (para h\neq0)

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