Determine o domínio natural e esboce o gráfico da função:
i) f(x)=\frac{x^{2}-2 x+1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o domínio natural de f e (2) esboçar o gráfico de f, onde
f(x)=\frac{x^{2}-2x+1}{x-1}.
Informações dadas relevantes:
  • A função é dada por uma razão entre polinômios: numerador x^{2}-2x+1 e denominador x-1.
  • Qualquer valor de x que zere o denominador torna a expressão original indefinida.

Passo 2

Encontrar os valores de x que tornam o denominador igual a zero.
x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Portanto, x=1 não pode pertencer ao domínio porque causaria divisão por zero. Até aqui, o domínio natural está em princípio \mathbb{R}\setminus\{1\}. Vou confirmar se há outras restrições (não há, pois numerador e denominador são polinômios).

Passo 3

Observar o numerador e tentar simplificar a expressão. Notar que o numerador é um quadrado perfeito:
x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.
Substituindo na função:
f(x)=\frac{(x-1)^{2}}{x-1}.
Para x\neq1 pode-se cancelar um fator x-1:
\text{para }x\neq1:\qquad f(x)=x-1.
Explicação didática da operação: cancelar um fator comum entre numerador e denominador é válido somente quando esse fator é diferente de zero; por isso mantemos a restrição x\neq1. A expressão simplificada mostra que, exceto no ponto proibido, f coincide com a reta y=x-1.

Passo 4

Analisar o comportamento no ponto x=1. O valor original da função em x=1 é indefinido porque o denominador é zero. Calcular o limite quando x\to1 usando a forma simplificada:
\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(x-1)=0.
Como o limite existe e é finito, mas f(1) não está definido, temos uma descontinuidade removível (um “furo”) em x=1. O ponto correspondente do furo na reta é (1,0).

Passo 5

Conseqüências para o gráfico:
  • Para todo x\neq1, o gráfico é exatamente a reta \;y=x-1\; (reta de coeficiente angular 1 e intercepto em y=-1).
  • Em x=1 existe uma falta de valor: na reta y=x-1 o ponto seria (1,0), mas na função original esse ponto está ausente — deve ser desenhado como um círculo aberto (furo).
  • Não há assíntotas verticais (já que o comportamento próximo a 1 é limite finito) nem horizontais; a função coincide com uma reta inteira exceto por um ponto isolado.

Passo 6

Indicar pontos importantes para esboço (valores que ajudam a desenhar a reta):
f(0)=0-1=-1\quad\text{(ponto }(0,-1)\text{)},\qquad f(2)=2-1=1\quad\text{(ponto }(2,1)\text{)}.
No entanto, f(1) não existe; o valor que a reta teria aí é 0, então marcar (1,0) como círculo aberto.

Passo 7

Resumo das propriedades que se deve mostrar no esboço:
  • Desenhar a reta y=x-1.
  • Marcar um círculo aberto em (1,0) para indicar a descontinuidade removível.
  • Indicar que a função é igual à reta em todos os outros pontos, por exemplo passando pelos pontos (0,-1) e (2,1).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{1\}
Gráfico: reta y=x-1 com um furo (círculo aberto) no ponto (1,0).

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