Determine o domínio natural e esboce o gráfico da função:
i)
i)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o domínio natural de
e (2) esboçar o gráfico de
, onde
Informações dadas relevantes:
- A função é dada por uma razão entre polinômios: numerador
e denominador . - Qualquer valor de
que zere o denominador torna a expressão original indefinida.
Passo 2
Encontrar os valores de
que tornam o denominador igual a zero.
Portanto,
não pode pertencer ao domínio porque causaria divisão por zero. Até aqui, o domínio natural está em princípio
. Vou confirmar se há outras restrições (não há, pois numerador e denominador são polinômios).
Passo 3
Observar o numerador e tentar simplificar a expressão. Notar que o numerador é um quadrado perfeito:
Substituindo na função:
Para
pode-se cancelar um fator
:
Explicação didática da operação: cancelar um fator comum entre numerador e denominador é válido somente quando esse fator é diferente de zero; por isso mantemos a restrição
. A expressão simplificada mostra que, exceto no ponto proibido,
coincide com a reta
.
Passo 4
Analisar o comportamento no ponto
. O valor original da função em
é indefinido porque o denominador é zero. Calcular o limite quando
usando a forma simplificada:
Como o limite existe e é finito, mas
não está definido, temos uma descontinuidade removível (um “furo”) em
. O ponto correspondente do furo na reta é
.
Passo 5
Conseqüências para o gráfico:
- Para todo
, o gráfico é exatamente a reta (reta de coeficiente angular e intercepto em ). - Em
existe uma falta de valor: na reta o ponto seria , mas na função original esse ponto está ausente — deve ser desenhado como um círculo aberto (furo). - Não há assíntotas verticais (já que o comportamento próximo a
é limite finito) nem horizontais; a função coincide com uma reta inteira exceto por um ponto isolado.
Passo 6
Indicar pontos importantes para esboço (valores que ajudam a desenhar a reta):
No entanto,
não existe; o valor que a reta teria aí é
, então marcar
como círculo aberto.
Passo 7
Resumo das propriedades que se deve mostrar no esboço:
- Desenhar a reta
. - Marcar um círculo aberto em
para indicar a descontinuidade removível. - Indicar que a função é igual à reta em todos os outros pontos, por exemplo passando pelos pontos
e .
Resposta
Domínio:
Gráfico: reta
com um furo (círculo aberto) no ponto
.