Determine o domínio natural de
g(x)=\ln \left(4-x^{2}\right) .

Passo 1

O enunciado nos dá a função g(x)=\ln\!\left(4-x^{2}\right) e pede para determinar o domínio natural dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é g(x)=\ln\!\left(4-x^{2}\right).
  • A tarefa é encontrar o conjunto de todos os valores reais de x para os quais g(x) está bem definida (domínio natural).

Passo 2

Entender a condição para que uma expressão do tipo \ln(u) esteja definida no conjunto dos números reais.
A regra básica é: \ln(u) está definida como número real se, e somente se, u>0. Em outras palavras, o argumento do logaritmo natural tem de ser estritamente positivo. Portanto, para g(x) estar definida precisamos ter
4-x^{2}>0.

Passo 3

Transformar a condição 4-x^{2}>0 numa forma mais fácil de resolver. Subtrair 4 e multiplicar por -1 (lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade) não é necessário aqui; é mais direto observar que
4-x^{2}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}<4.
Explicação do passo: a expressão 4-x^{2}>0 equivale a dizer que o quadrado de x é menor que 4.

Passo 4

Resolver x^{2}<4 usando a propriedade do valor absoluto. A desigualdade x^{2}<4 é equivalente a |x|<2. Isso porque |x|=\sqrt{x^{2}}, e \sqrt{x^{2}}<2 implica x^{2}<4. A desigualdade |x|<2 traduz-se em
-2<x<2.
Portanto, todos os x estritamente entre -2 e 2 satisfazem x^{2}<4.

Passo 5

Confirmar que os extremos não pertencem ao domínio: para x=2 ou x=-2 temos 4-x^{2}=0, e \ln(0) não está definida no conjunto dos reais (o logaritmo tende a -\infty, mas não é um valor real). Para |x|>2 temos 4-x^{2}<0 e o logaritmo de número negativo não é definido nos reais. Assim apenas os x com -2<x<2 são válidos.

Passo 6

Concluir o domínio natural escrevendo-o de forma habitual (intervalo e/ou conjunto). O domínio natural de g é o intervalo aberto entre -2 e 2.

Resposta

(-2,2)

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