Determine o domínio natural de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para determinar o domínio natural dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - A tarefa é encontrar o conjunto de todos os valores reais de
para os quais está bem definida (domínio natural).
Passo 2
Entender a condição para que uma expressão do tipo
esteja definida no conjunto dos números reais.
A regra básica é: está definida como número real se, e somente se,
. Em outras palavras, o argumento do logaritmo natural tem de ser estritamente positivo. Portanto, para
estar definida precisamos ter
A regra básica é:
Passo 3
Transformar a condição
numa forma mais fácil de resolver. Subtrair
e multiplicar por
(lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade) não é necessário aqui; é mais direto observar que
Explicação do passo: a expressão
equivale a dizer que o quadrado de
é menor que
.
Passo 4
Resolver
usando a propriedade do valor absoluto. A desigualdade
é equivalente a
. Isso porque
, e
implica
. A desigualdade
traduz-se em
Portanto, todos os
estritamente entre
e
satisfazem
.
Passo 5
Confirmar que os extremos não pertencem ao domínio: para
ou
temos
, e
não está definida no conjunto dos reais (o logaritmo tende a
, mas não é um valor real). Para
temos
e o logaritmo de número negativo não é definido nos reais. Assim apenas os
com
são válidos.
Passo 6
Concluir o domínio natural escrevendo-o de forma habitual (intervalo e/ou conjunto). O domínio natural de
é o intervalo aberto entre
e
.