Malha de Realimentação { }^{1} : O ganho de malha fechada é
G(k)=\frac{k}{1+k}
Determine a imagem dessa função para ganhos k>0.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de ganho em malha fechada
G(k)=\frac{k}{1+k}
e pede a imagem dessa função quando o parâmetro k varia em k>0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável independente satisfaz k>0.
  • A função é a razão \dfrac{k}{1+k}.
    A pergunta é: quais valores pode assumir G(k) quando k percorre todos os números positivos?

Passo 2

Primeiro observo sinais e limites simples para ter uma ideia do comportamento.
Para k>0 temos k>0 e 1+k>1>0, portanto
G(k)=\frac{k}{1+k}>0.
Também é óbvio que k<1+k, logo
\frac{k}{1+k}<1.
Portanto, para todo k>0 vale
0<G(k)<1.
Isto já indica que a imagem está contida no intervalo aberto (0,1).

Passo 3

Agora calculo os limites nas extremidades para ver se os extremos 0 ou 1 são atingidos ou apenas aproximados.
Limite quando k\to0^+:
\lim_{k\to0^+} \frac{k}{1+k} = \frac{0}{1+0}=0.
Logo G(k) se aproxima de 0 quando k se aproxima de 0, mas como k>0 nunca vale exatamente 0, o valor 0 não é assumido.
Limite quando k\to+\infty:
\lim_{k\to+\infty} \frac{k}{1+k}=\lim_{k\to+\infty}\frac{1}{1+1/k}=1.
Logo G(k) se aproxima de 1 quando k cresce sem limite, mas para todo k finito temos G(k)<1. Assim 1 também não é atingido.

Passo 4

Para confirmar que todos os valores entre 0 e 1 são realmente assumidos por algum k>0, faço a inversão algébrica: suponha que y seja um valor no contradomínio e escreva
y=\frac{k}{1+k}.
Resolvo para k em função de y. Multiplicando ambos os lados por 1+k:
y(1+k)=k \quad\Rightarrow\quad y + yk = k.
Coloco os termos com k de um lado:
yk - k = -y \quad\Rightarrow\quad k(y-1) = -y.
Como y-1 = -(1-y), obtenho
k = \frac{y}{1-y}.

Passo 5

Analiso agora para quais y esse k é positivo. A expressão k=\dfrac{y}{1-y} é positiva se, e somente se, o numerador e denominador tiverem o mesmo sinal. Para y=0 temos k=0 (mas k não pode ser 0 aqui), e para y=1 a expressão explode. Se 0<y<1 então y>0 e 1-y>0, logo k>0. Além disso, para qualquer y com 0<y<1 a fórmula dá um k>0 finito que gera exatamente esse y pela relação original. Portanto todo y\in(0,1) tem um correspondente k>0.

Passo 6

Também posso verificar monotonicidade para confirmar que não há “buracos”: calcule a derivada
G'(k)=\frac{(1+k)\cdot 1 - k\cdot 1}{(1+k)^2}=\frac{1}{(1+k)^2}>0\quad\text{para todo }k>0.
Como G'(k)>0, a função é estritamente crescente em (0,+\infty). Uma função contínua e estritamente crescente que tende a 0 quando k\to0^+ e tende a 1 quando k\to+\infty toma todos os valores do intervalo aberto (0,1) exatamente uma vez.

Resposta

(0,1)

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