Malha de Realimentação
: O ganho de malha fechada é
Determine a imagem dessa função para ganhos
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de ganho em malha fechada
e pede a imagem dessa função quando o parâmetro
varia em
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A variável independente satisfaz
. - A função é a razão
.
A pergunta é: quais valores pode assumirquando percorre todos os números positivos?
Passo 2
Primeiro observo sinais e limites simples para ter uma ideia do comportamento.
Para temos
e
, portanto
Para
Também é óbvio que
, logo
Portanto, para todo
vale
Isto já indica que a imagem está contida no intervalo aberto
.
Passo 3
Agora calculo os limites nas extremidades para ver se os extremos
ou
são atingidos ou apenas aproximados.
Limite quando
:
Logo
se aproxima de
quando
se aproxima de
, mas como
nunca vale exatamente
, o valor
não é assumido.
Limite quando
:
Logo
se aproxima de
quando
cresce sem limite, mas para todo
finito temos
. Assim
também não é atingido.
Passo 4
Para confirmar que todos os valores entre
e
são realmente assumidos por algum
, faço a inversão algébrica: suponha que
seja um valor no contradomínio e escreva
Resolvo para
em função de
. Multiplicando ambos os lados por
:
Coloco os termos com
de um lado:
Como
, obtenho
Passo 5
Analiso agora para quais
esse
é positivo. A expressão
é positiva se, e somente se, o numerador e denominador tiverem o mesmo sinal. Para
temos
(mas
não pode ser
aqui), e para
a expressão explode. Se
então
e
, logo
. Além disso, para qualquer
com
a fórmula dá um
finito que gera exatamente esse
pela relação original. Portanto todo
tem um correspondente
.
Passo 6
Também posso verificar monotonicidade para confirmar que não há “buracos”: calcule a derivada
Como
, a função é estritamente crescente em
. Uma função contínua e estritamente crescente que tende a
quando
e tende a
quando
toma todos os valores do intervalo aberto
exatamente uma vez.