Produtos notáveis e fatoração.
Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma soma.
(a^2 b+x)^3

Passo 1

O enunciado pede para expandir e depois fatorar a expressão l(a^2b + xr)^3. O conteúdo é “produtos notáveis”, em particular o cubo de uma soma, cujo formato geral é
(u+v)^3 = u^3 + 3,u^2v + 3,u,v^2 + v^3
Aqui vamos precisar identificar u = a^2b e v = x e aplicar essa fórmula.

Passo 2

Aplicando a fórmula com u = a^2b e v = x, temos
l(a^2b + xr)^3 = (u+v)^3 = u^3 + 3,u^2v + 3,u,v^2 + v^3

Passo 3

Agora calculamos cada termo:
u^3 = (a^2b)^3 = a^6b^3,
3,u^2v = 3,(a^2b)^2,x = 3,a^4b^2,x,
3,u,v^2 = 3,(a^2b),x^2 = 3,a^2b,x^2,
v^3 = x^3
Somando, a expansão fica
a^6b^3 ;+; 3,a^4b^2x ;+; 3,a^2b,x^2 ;+; x^3

Passo 4

Para fatorar a expressão resultante, basta reconhecer que ela é exatamente o cubo da soma original. Logo,
a^6b^3 + 3,a^4b^2x + 3,a^2b,x^2 + x^3 = l(a^2b + xr)^3,
que coincide com a expressão dada no enunciado.

Resposta

(a) a^6b^3 + 3,a^4b^2x + 3,a^2b,x^2 + x^3
(b) Fatorando volta-se a ter (a^2b + x)^3, ou seja, recuperamos a expressão original.

Exercícios relacionados