Determine o domínio e represente graficamente
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função $ f(x, y) = \sqrt{y - x} \ln(y + x) $ e depois representar esse domínio graficamente. Isso envolve entender onde a função está definida, ou seja, para quais valores de $ x $ e $ y $ a função dá um resultado válido. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções compostas e condições de existência de funções matemáticas como a raiz quadrada e o logaritmo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função que tem a raiz quadrada: $ \sqrt{y - x} $. A raiz quadrada só está definida quando o que está dentro dela é não negativo, ou seja:
Isso significa que $ y $ tem que ser pelo menos igual a $ x $.
Passo 3
Agora, vamos analisar o logaritmo: $ \ln(y + x) $. O logaritmo natural só está definido para números positivos, então:
Isso quer dizer que a soma de $ y $ e $ x $ precisa ser maior que zero.
Passo 4
Então, para que a função $ f(x, y) $ esteja definida, as duas condições abaixo precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo:
- $ y - x \geq 0 $
- $ y + x > 0 $
Vamos simplificar essas desigualdades para entender melhor o domínio.
Primeira desigualdade:
Segunda desigualdade:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os valores de $ y $ que satisfazem ambas as condições:
Isso significa que $ y $ deve estar acima da reta $ y = x $ e também acima da reta $ y = -x $ no gráfico de $ x $ e $ y $.
Passo 6
Vamos representar graficamente essas desigualdades:
- A reta $ y = x $ divide o plano em duas partes, e queremos a região acima ou na reta.
- A reta $ y = -x $ também divide o plano, e queremos a região acima dessa reta.
O domínio da função é a interseção dessas duas regiões, ou seja, a área onde ambas as condições são verdadeiras simultaneamente.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = \sqrt{y - x} \ln(y + x) $ é o conjunto de todos os pares
que satisfazem as condições $ y \geq x $ e $ y > -x $. Graficamente, esse domínio corresponde à região acima das retas $ y = x $ e $ y = -x $ no plano $ xy $.