Determine o dominio das seguintes funçōes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar o domínio da função
. O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está “valida” ou definida. Para resolver isso, a gente vai precisar entender sobre raízes quadradas e frações, garantindo que o denominador nunca seja zero e que o que está dentro da raiz seja positivo ou igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração:
. Para a função estar definida:
- O que está dentro da raiz
não pode ser negativo, porque a raiz de um número negativo não é um número real. - O denominador não pode ser zero, já que divisão por zero é indefinida.
Então, precisamos resolver
para garantir que o denominador seja positivo e diferente de zero.
Passo 3
Vamos resolver a desigualdade
. Primeiro, vamos fatorar a expressão:
Agora, a desigualdade fica:
Passo 4
Para resolver
, precisamos encontrar os valores de
que tornam o produto positivo. Isso acontece quando ambos os fatores são positivos ou ambos são negativos.
Vamos identificar os pontos críticos onde cada fator é zero:
-
-
→
Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos:
Passo 5
Agora, vamos testar cada intervalo para ver onde a desigualdade
é verdadeira.
-
Para
: -
é negativo. -
também é negativo. - Produto: negativo × negativo = positivo. Então, funciona!
-
-
Para
: -
é positivo. -
é negativo. - Produto: positivo × negativo = negativo. Não funciona.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é positivo. - Produto: positivo × positivo = positivo. Então, funciona!
-
Passo 6
Com base nos testes, a desigualdade
é verdadeira para:
Esses são os intervalos onde a função
está definida, pois o denominador é positivo e diferente de zero.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais menores que 0 ou maiores que 5, ou seja: