Determine o dominio das seguintes funçōes:
f(x)=x-1raizx^2-5 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar o domínio da função f(x) = x-1raizx^2 - 5x . O domínio de uma função são todos os valores de x para os quais a função está “valida” ou definida. Para resolver isso, a gente vai precisar entender sobre raízes quadradas e frações, garantindo que o denominador nunca seja zero e que o que está dentro da raiz seja positivo ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: raizx^2 - 5x . Para a função estar definida:
  1. O que está dentro da raiz x^2 - 5x não pode ser negativo, porque a raiz de um número negativo não é um número real.
  2. O denominador não pode ser zero, já que divisão por zero é indefinida.
Então, precisamos resolver x^2 - 5x > 0 para garantir que o denominador seja positivo e diferente de zero.

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade x^2 - 5x > 0 . Primeiro, vamos fatorar a expressão:
x^2 - 5x = x(x - 5)
Agora, a desigualdade fica:
x(x - 5) > 0

Passo 4

Para resolver x(x - 5) > 0 , precisamos encontrar os valores de x que tornam o produto positivo. Isso acontece quando ambos os fatores são positivos ou ambos são negativos.
Vamos identificar os pontos críticos onde cada fator é zero:
  • x = 0
  • x - 5 = 0 x = 5
Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos:
  1. x < 0
  2. 0 < x < 5
  3. x > 5

Passo 5

Agora, vamos testar cada intervalo para ver onde a desigualdade x(x - 5) > 0 é verdadeira.
  1. Para x < 0 :
    • x é negativo.
    • x - 5 também é negativo.
    • Produto: negativo × negativo = positivo. Então, funciona!
  2. Para 0 < x < 5 :
    • x é positivo.
    • x - 5 é negativo.
    • Produto: positivo × negativo = negativo. Não funciona.
  3. Para x > 5 :
    • x é positivo.
    • x - 5 é positivo.
    • Produto: positivo × positivo = positivo. Então, funciona!

Passo 6

Com base nos testes, a desigualdade x(x - 5) > 0 é verdadeira para:
  • x < 0
  • x > 5
Esses são os intervalos onde a função f(x) está definida, pois o denominador é positivo e diferente de zero.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais menores que 0 ou maiores que 5, ou seja:
x in (-infty, 0) cup (5, infty)

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